勒让德多项式的递推关系一般书上都是从生成函数推导，其实也可以从勒让德多项式的微分表示推导得到。

参考链接： Legendre Polynomials: Rodriques’ Formula and Recursion Relations

勒让德多项式的微分表示：

\begin{equation*} P_l(x)=\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l \end{equation*}

这个公式叫做 Rodriques’ Formula ，吴崇试的书称为罗巨格公式，梁昆淼的书称为罗德里格斯公式，还有书称为罗德里格公式。为什么不统一一下？《 物理学名词 》压根没收录这个词。

首先我们记得 函数积的求高阶导法则

\begin{equation*} \frac{d^l}{dx^l}(fg)=\sum_{k=0}^l\frac{l!}{k!(l-k)!}\frac{d^kf}{dx^k}\frac{d^{l-k}g}{dx^{l-k}} \end{equation*}

令 $g=x^2-1$，得如下特例：

\begin{equation*} \frac{d^l}{dx^l}[(x^2-1)f]=(x^2-1)\frac{d^l}{dx^l}f+2lx\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}f+l(l-1)\frac{d^{l-2}}{dx^{l-2}}f \end{equation*}

对罗巨格公式求导：

\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)=&\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{2^{l+1}(l+1)!}\frac{d^{l+1}}{dx^{l+1}}(x^2-1)^{l+1}\right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{d^2}{dx^2}\left \{\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}[(x^2-1)(x^2-1)^l] \right \}\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{1}{2^ll!}\frac{d^2}{dx^2}\left [(x^2-1)\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l+2lx\frac{d^{l-1}}{dx^{l-1}}(x^2-1)^l+l(l-1)\frac{d^{l-2}}{dx^{l-2}}(x^2-1)^l \right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\left \{\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)\frac{d}{dx}P_l(x)\right]+2P_l(x)+2x\frac{d}{dx}P_l(x)+2lx\frac{d}{dx}P_l(x)+4lP_l(x)+l(l-1)P_l(x) \right \}\\\\ =& \frac{1}{2(l+1)}\left [ l(l+1)P_l(x)+2P_l(x)+4lP_l(x)+l(l-1)P_l(x)+2(l+1)x\frac{d}{dx}P_l(x)\right ]\\\\ =& \frac{1}{2(l+1)}\left [ 2(l+1)^2P_l(x)+2(l+1)x\frac{d}{dx}P_l(x)\right ] \end{split} \end{equation*}

上式倒数第二个等号，用到 $\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)\frac{d}{dx}P_l(x)\right]=l(l+1)P_l(x)$，这是勒让德方程。

根据上式最后一个等号，可得如下递推公式：

\begin{equation*} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)=(l+1)P_l(x)+2x\frac{d}{dx}P_l(x) \end{equation*}

下面我们再导出一个递推公式。

\begin{equation*} \begin{split} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)=&\frac{d}{dx}\left [ \frac{1}{2^{l+1}(l+1)!}\frac{d^{l+1}}{dx^{l+1}}(x^2-1)^{l+1}\right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [\frac{d^2}{dx^2}(x^2-1)^{l+1} \right ]\\\\ =&\frac{1}{2(l+1)}\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [4l(l+1)x^2(x^2-1)^{l-1} +2(l+1)(x^2-1)^l\right ]\\\\ =&\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [2l(x^2-1+1)(x^2-1)^{l-1} +(x^2-1)^l\right ]\\\\ =&\frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}\left [2l(x^2-1)^{l-1} +(2l+1)(x^2-1)^l\right ]\\\\ =&\frac{d}{dx}P_{l-1}(x)+(2l+1)P_l(x) \end{split} \end{equation*}

即得递推关系：

\begin{equation*} \frac{d}{dx}P_{l+1}(x)-\frac{d}{dx}P_{l-1}(x)=(2l+1)P_l(x) \end{equation*}

标签: 勒让德多项式

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胡 : 你好，瞿老师，我想问下。根据上式最后一个等号，可得如下递推公式：...

冰冰 : 您好，请问你解决了吗？我也有这个问题

小胡 : 图呢？

rising sun : 老师，建议添加如果从（0，0）直接走到（1，1）的第三条路径

jiawen : 为什么这个榜单很不全，有的学校没有

JyZ : 你好，我最近尝试解三维周期性PNP遇到了些困难暂时无法解决，方便...

杜江玮 : 老师，您好！我想问一下，第一行中的Fourier变换的基函数ex...

小文 : 博主您好，这篇博文貌似没有附上图片。

王先生 : 非常感谢您的回复，我目前正在支持国内一个新百科项目——识典百科。...

瞿立建 : 谢谢你能写维基百科。我早就退出了。我大约是2013年开始写维基百...

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