在之前的一篇博文中，我们曾以一个直径为 35 毫米、轴向长度为 80 毫米的 12 槽、10 极永磁电机 (PMM) 为例，讨论了如何在 COMSOL Multiphysics ^® 软件中 分析电动机和发电机设计 ，包括如何检查旋转机器中的磁通量分布、扭矩、损耗和铁的用量。 在今天的博文中，我们将研究铁损耗和铜损耗的变化、由此产生的温升及其对永磁电机效率的影响。在讨论损耗之前，我们先来看看旋转电机仿真的一个基础知识：能量守恒。

本文是讨论如何使用 COMSOL Multiphysics 分析旋转机械设计的系列博客的第二篇。点击 此处 阅读本系列博客的第 1 部分。

能量守恒验证

可以通过检查相关的功率值来查看能量守恒。为此，我们将通过旋转机器仿真来研究能量守恒现象。在对旋转电机进行建模时，通常将铁制定子和转子设置为零电导率，并使用 Steinmetz 或 Bertotti 等经验模型单独计算铁损耗。这是因为定子和转子铁芯由叠片组成，以最大限度地减少涡流。

如果使用铁的体电导率，数值模型将大大高估损耗并计算出一个低净磁场，相当于使用了非层叠状铁材料的损耗和磁场。这就是为什么需要单独计算铁损耗的原因。使用这种方法，可以用下列公式计算效率 \textrm{效率} = \frac{\textrm{机械输出功率}}{\textrm{机械输出功率 + 铁损耗 + 铜损耗}} 式中，选择忽略摩擦和风阻损失，因为它们仅占总损失的一小部分（约 3%）。当认为有必要计算这些损失时，我们也可以很容易地包含这些项目。

上述内容意味着，在电磁有限元模拟中，应该使用输入的电能来激发磁场，在转子上产生扭矩，并产生铜损耗。在能量守恒方面，输入的电能应该等于机械功率输出和铜损耗之和。瞬时电功率由给出 P_i = V_a I_a + V_b I_b + V_c I_c ，其中， V_a, V_b, V_c 和 I_a, I_b, I_c 分别是定子的三相电压和电流。机械输出功率由给出 P_o = T_r \omega_r ，其中， T_r 是转子上的扭矩， \omega_r 是角速度。

左：转子速度为 3250rpm 和定子电流为 10A 时的瞬时功率平衡。右：平均功率平衡（输入功率与输出功率和铜损耗之和的相对误差）。

瞬时功率平衡可以通过观察机械功率输出、铜损耗、它们的总和以及输入得电功率如何随时间变化来研究。为了进一步研究能量守恒，对于不同的转子速度和定子电流组合，可以得到输入电功率和输出功率及铜损之和的时间平均值。计算输入功率和输出功率加损耗之间的相对误差。在整个变化范围内，最大的相对误差评估为小于1%。验证能量守恒确保了没有意外的损失存在，并使我们对使用数值分析作为开发旋转机器的工具充满信心。

研究铁和铜损耗

损耗的计算很重要，因为它们在效率计算和温升评估方面具有重要意义。铁损耗包括转子和定子铁中，随时间变化的磁通密度产生的磁滞和涡流损耗。铜损耗是由于传导电流在定子线圈中产生的欧姆损耗。

使用 参数扫描 功能，我们可以研究铁损耗和铜损耗随转子速度和定子电流的变化。也可以使用自 COMSOL Multiphysics 5.6 版本起提供的 损耗计算 子功能来计算 损耗 。对于叠层铁，使用经验 Steinmetz 和 Bertotti 模型。它们为我们提供了由于磁滞和涡流造成的总损耗。Bertotti 损耗模型允许用户指定层压厚度。也可以使用完全由 用户定义 的材料模型，以及自己定制的 B-H 曲线。更高级的效果，例如各向异性，也可以包含在模拟中。可以使用 损耗计算 子功能（基于欧姆定律）中的 电阻损耗 选项获得铜损耗。

随转子速度变化的铁损耗（左），随定子电流变化的铜损耗（中），随定子电流变化的转子转矩（右）。

铁损耗随转子速度线性变化，与定子电流无关。这可以通过将其与经验损失模型相关联来理解。可以使用 Steinmetz 方程计算铁损耗，该方程由下式给出 W_i = K_h{B_m}^\alpha f ， 其中 W_i 是单位体积的铁损， B_m 是最大磁通密度， f 是磁通密度变化的频率。

这个表达式表明铁损耗随频率线性变化，而频率又与转子速度成正比。此外，铁中的磁通密度主要由磁铁决定。定子电流仅具有边际效应。因此，铁损耗与转子速度呈线性关系，几乎不依赖于定子电流。

另一方面，我们观察到铜损耗随定子电流呈二次方变化。当查看由下式给出的欧姆损耗公式时，可以很容易地理解这种二次变化 W_c = I^2 R_c ， 其中 I 是线圈电流， R_c 是线圈电阻。在这种情况下，由于使用了 均匀多匝线圈 特征，线圈中的 集肤效应和邻近效应被忽略了——当导线相对于集肤深度较细时，这一假设是有效的——因此， R_c 的有效值不依赖于转子速度。

我们还可以查看转子转矩随定子电流的变化，以提取给定电机设计的扭矩常数。扭矩与定子电流成正比，与速度相对无关。扭矩是由定子电流和转子磁场的相互作用产生的。对于永磁电机，转子的磁场由永磁体产生。对于许多典型的设计，它可以被认为是基本不变的。因此，我们很容易理解电磁扭矩只随定子电流而变化。

转子转矩、铁损耗和铜损耗与转子速度和定子电流的关系图可用来获得经验关系并生成电机效率图。转子扭矩常数、铁损耗、铜损耗和电机效率的对应表达式为：

式中， k_1 = 0.07 N.m/A, k_2 = 0.204 W/rps 是平均斜率，并且 k_3 = 0.164 W/A ² .

如果我们将分析生成的效率图(使用经验系数 k_1,k_2,k_3 ) 与从我们的电机模型的参数分析中获得的结果相比较，会发现这非常有意思。

使用 COMSOL Multiphysics ^® 研究温升

温度上升会影响电机性能的几个方面。对于永磁体来说，温度从 20℃ 上升到 120 ℃，会导致磁通密度下降，最高可达 30%。这将导致转子扭矩和由此产生的效率的相应减少，并且也可能达到 30%。允许的最大温升通常是根据定子绕组的绝缘等级和永磁材料的退磁极限来确定的。经验发现，温度每上升 10 度，超过允许的极限，绝缘寿命就大约会减少一半。如果在极端的负载条件下，温度超过了绝缘极限，其后果可能是绝缘失效，匝间短路，最终导致定子线圈烧毁。

使用 损耗计算 子功能计算的铁和铜损耗可以耦合到 传热 (HT) 接口以分析热性能。COMSOL Multiphysics 中的 传热 接口提供了多种研究机器冷却的方法。自然对流或强制对流可以隐式建模——通过使用外表面的传热系数——或显式建模，简单的说就是通过对电机外表面上的层流或湍流流体流动进行建模。可以在不同冷却条件下对稳态温度进行比较研究，以确定最适合特定电机应用的冷却方法。在下一篇博客文章中，我们将更多地讨论电机冷却，例如水冷却套的优化设计。

自然空气对流（左）、流速为 1m/s 的强制空气对流（中）和流速为 50mm/s 的强制水冷（右）的温升。

表面图显示了转子速度为 3000rpm 和定子电流为 2A 时的温度（以度为单位）。在这种情况下，只需通过检查，我们就可以确定如果使用自然对流，就需要 180 (H) 的绝缘等级。如果使用强制对流，绝缘要求将降低到 130 (B) 级；如果采用水冷，使用 105 (A) 级绝缘就足够了。在这里，我们假设已考虑到热退磁效应，因此选择了合适的永磁体材料。

研究电动机效率

归根结底，对电机设计的分析是为了计算它效率。通过效率我们可以知道输入功率的多少部分可以作为机械输出获得。旋转机器的效率随产生的电磁扭矩和转子速度而变化。理想情况下，我们希望以最大效率运行机器，但在实践中，还必须考虑电机驱动的负载的扭矩-速度曲线。因此，我们将在一定的工作范围内使用电机。另一个好方法是选择一个在运行状态下具有最高效率值的电机。

这就是效率图的用武之地。电机的效率图是效率与转子速度和电磁扭矩变化的关系图。换句话说，它也可以被描述为扭矩和速度状态空间中的效率图。负载特性曲线可以叠加在效率图上，用来确定给定负载曲线下系统的整体效率。

例如，电动汽车的负载是以扭矩和速度驱动循环为特征。驱动循环包括负载扭矩和随时间变化的速度。在每个时刻，扭矩和速度值的组合决定了负载的行为。所有这些扭矩-速度数据点在效率图上的散点图有助于确定电机对特定驱动循环提供的总体效率。这使得我们能够估计电机在整个驱动循环期间消耗的总能量，并随后预测电动汽车在单次充电后的续航能力。

COMSOL Multiphysics 提供了内置的建模功能，让我们能够轻松地为电机设计生成效率图。通过 力计算 特征可以计算电磁转矩。通过 损失计算 子特征可以计算铁损耗和铜损耗。可以使用 传热 接口来计算由于损耗产生的温度上升，也可以使用 多物理场 节点，将该接口完全地耦合到 旋转机械，磁 接口， 以包括温度上升的电磁效应。最后，我们还可以通过 表图 特征们绘制效率图。

从模拟获得的效率图，包括温升的影响（左）和电机温度图（右）。

与前两张效率图不同，第三张图包括了自然空气对流冷却对温度升高的影响。我们可以观察到，在考虑温升的影响后，在相同的定子电流值范围内，平均转子扭矩值有所下降。此外，随着温度在较高速度下升高（由于损耗增加），由于转子永磁体中的剩余磁通减少，扭矩将进一步降低。这可以通过沿着图顶部对应于“I=5A”的线观察到。最终的结果是，由于温度升高而导致效率分布发生变化。这有助于更好地评估给定电机设计对相关应用的适用性。温度图显示了定子的平均温度。

综上，首先我们简要地了解了电机模拟过程中的能量守恒。对这类能量守恒进行验证可以帮助我们对从任何有限元仿真工具中获得的结果进行完整性检查。

之后讨论了参数分析，用于研究电磁转矩以及铁损耗和铜损耗随转子速度和定子电流的变化。通过这种分析，可用于提取转矩常数和经验系数，来估计给定电机设计在任何速度和电流值下的损耗。

我们还研究了电机损耗引起的温升，它会对永磁体的电磁转矩、效率、所需的绝缘等级和材料产生重大影响。对不同冷却条件下的温升进行比较研究，可以方便地选择合适的冷却方法。

最后，我们讨论了效率图，这是确定给定电机设计是否满足应用需求的关键工具。考虑温升后检查效率图使我们能够在预期应用的背景下对机器的性能进行精确判断。

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