European call & American call
欧式看涨期权 和 美式看涨期权 的上下限是一样的。
call 的上下限
European call & American call 上限
$$C \leq S$$
看涨期权的价格 C 的上限不能超过标的资产的价格 S。
证明方法：反证法
可以通过反证法，设计一个 C > S 的情景，然后发现存在无风险套利的机会。这不符合我们的无套利的前提。
European call & American call 下限
$$ C \geq max[0, S – PV(K)] = max (0, S – Ke^{-rT}) $$
看涨期权的下限不能小于 payoff，也即 \( max(0, S – Ke^{-rT}) \)。
证明方法：组合比较法
构造两个投资组合 portfolio A 和 portfolio B。
portfolio A 和我们之前推导
买卖权平价
的时候构造的
Fiduciary Call
是一样的，由
一份行权价为 K 且到期日为 T 的欧式看涨期权
加
一份票面价值为 K 且到期日为 T 的零息债券
组成。
portfolio A：European Call + \(Ke^{-rT}\)
portfolio B：一份股票
组合名
portfolio A
Portfolio B
组合内容
\(European Call + Ke^{−rT}\)
stock
if \(S_{T}\) ≤ K
0 + K = K
\(S_{T}\)
if \(S_{T}\) ≥ K
\((S_{T} – K) + K = S_{T} \)
\(S_{T}\)
由上表可知：
$$ V_{A} = max ( S_{T}, K ) $$
$$ V_{B} = S_{T} $$
所以在 T 时刻，下式成立：
$$V_{A} \geq V_{B} $$
那么在无套利下，他们在 0 时刻的价值关系也不能反转，否则就存在套利机会。 得到European Call 的下限：
$$call \geq S – Ke^{-rT} $$
$$ call \geq max (0, S – Ke^{-rT}) $$
而理性的 American Call Option holder 是不会选择提前行权的，自然也不会为能提前行权买单。所以在其他条件相同的情况下，American Call 的价格应该等于 European Call 的价格。
put 的上下限
如上图：A-A-A 是美式期权的价格区域，E-E-E 是欧式期权的价格区域。
European Put
European Put 上限
$$ P \leq Ke^{-rT} $$
欧式看跌期权的价格 P 的上限不能超过执行价格 \(Ke^{-rT}\)。
证明方法 ：反证法
可以通过反证法，设计一个 \( P > Ke^{-rT} \) 的情景，然后发现存在无风险套利的机会。这不符合我们的无套利的前提。
European Put 下限
$$ P \geq max(0, Ke^{-rT} – S ) $$
欧式看跌期权的价格 P 的下限不能低于 \( max(0, Ke^{-rT} – S ) \)。
证明方法 ：组合比较法
构造两个投资组合 portfolio C 和 portfolio D。
portfolio C 和我们之前推导 put call parity 的时候构造的
Protective Put
是一样的，由
一份行权价为 K 且到期日为 T 的欧式看跌期权
加
一份股票
组成。
portfolio C：European Put + Stock
portfolio D 是一份票面价值为 K 且到期日为 T 的零息债券。
portfolio D：\(Ke^{-rt}\)
组合名
portfolio C
Portfolio D
组合内容
\(European Put + Stock \)
\( Ke^{-rt} \)
if \(S_{T}\) ≤ K
\((K – S_{T}) + S_{T} = K \)
\( K \)
if \(S_{T}\) ≥ K
\( 0 + S_{T} = S_{T} \)
\( K \)
由上表可知：
$$ V_{C} = max ( S_{T}, K ) $$
$$ V_{D} = K $$
所以在 T 时刻，下式成立：
$$V_{C} \geq V_{D} $$
那么在无套利下，他们在 0 时刻的价值关系也不能反转，否则就存在套利机会。 得到European Call 的下限：
$$ put \geq Ke^{-rT} – S $$
$$ put \geq max (0 , Ke^{-rT} – S) $$
而我们知道，put 的 IV 是\( max (0 , K – S) \)，我们发现当 put 取到下限的时候，期权的价值 \( Ke^{-rT} – S \) 是小于 内在价值 \( K – S \) 的。换句话说，
欧式看跌期权是存在时间价值 TV < 0 的情况的。
因此，European put 期限越长，价格不一定越贵。
American Put
American Put 上限
$$ P \leq K $$
美式看跌期权的价格 P 的上限不能超过执行价格 K。
证明方法 ：反证法
可以通过反证法，设计一个 \( P > K \) 的情景，然后发现存在无风险套利的机会。这不符合我们的无套利的前提。
American Put 下限
