经典摘录-均匀随机变量的均值和方差

link管理

链接快照平台

输入网页链接，自动生成快照
标签化管理网页链接

均匀分布的离散随机变量

按照定义，离散均匀随机变量的取值范围由相邻的整数所组成的有限集合，而取每个整数的概率都是相等的。这样它的分布列：

p_X(k)=\cases{\frac{1}{b-a+1}, & if k=a, a+1, ... ,b\\0, & otherwise}

其中$a,b$ 是两个整数，作为随机变量的值域的两个端点，$a<b$。由于它的概率函数相对于(a+b)/2 是对称的，所以其均值为：

$$E[X]=\frac{a+b}{2}$$

为计算$X$的方差，先考虑a=1和b=n的简单情况。利用归纳法可以证明：

$$E[X^2]=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}(n+1)(2n+1)$$

（具体证明过程留作习题）。这样利用一、二阶矩，可得到$X$的方差

\begin{eqnarray*} var(X)&=& E[X^2]-(E[X])^2\\ &=&\frac{1}{6}(n+1)(2n+1)-\frac{1}{4}(n+1)^2\\ &=&\frac{n^2-1}{12} \end{eqnarray*}

对于 $a$ 和 $b$ 的一般情况，实际上在区间 $[a,b]$上的均匀分布与在区间 $[1,b-a+1]$ 上的分布之间的差异，只是一个分布是另外一个分布的偏移，因此两者具有相同的方差（此处区间 $[a,b]$ 是指处于 $a$ 和 $b$ 之间的整数的集合）。这样在一般的情况下，$X$ 的方差只需将简单的情况下公式中的 $n$ 替换成 $b-a+1$ ，即：
$$
var(X)=\frac{(b-a+1)^2-1}{12}=\frac{(b-a)(b-a+2)}{12}
$$

均匀分布的连续随机变量

摘录自 Example 3.4. Mean and Variance of the Uniform Random Variable

设随机变量 $X$ 的分布为 $[a,b]$ 上的均匀分布，得到：

\begin{eqnarray} E[X] &=& \int_{-\infty}^{+\infty}xf_X(x)dx \\ &=& \int_{a}^{b}x\frac{1}{b-a}dx \\ &=& \frac{1}{b-a}\cdot \frac{1}{2}x^2|^{b}_{a} \\ &=& \frac{1}{b-a}\cdot\frac{b^2-a^2}{2} \\ &=& \frac{b+a}{2} \end{eqnarray}

这个期望值刚好等于 $PDF$ 的对称中心 $\frac{b+a}{2}$ 。

为求得方差，先计算 $X$ 的二阶矩：

\begin{eqnarray*} E[X^2] &=& \int_{a}^{b}\frac{x^2}{b-a}dx \\ &=& \frac{1}{b-a}\cdot\int_{a}{b}x^2dx \\ &=& \frac{1}{b-a}\cdot \frac{1}{3}x^3|_{a}^{b} \\ &=& \frac{b^3-a^3}{3(b-a)} \\ &=& \frac{a^2+ab+b^2}{3} \\ \end{eqnarray*}

这样随机变量 $X$ 的方差为：

var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{(b-a)^2}{12} Post link: https://snaildove.github.io/2017/08/26/mean_and_variance_of_uniform_random_variable/ All articles in this blog are licensed under CC BY-NC-SA 3.0 unless stating additionally.