{\displaystyle P_n (z) = \dfrac{1}{2^n n!} \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n} (z^2-1)^n = \dfrac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \dfrac{(-1)^k (2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} z^{n-2k}}
为 Legendre 多项式。这种定义也称为 Rodrigues 公式。
它有如下积分表示
{\displaystyle P_n (z) = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{(\zeta^2-1)^n}{2^n (\zeta - z)^{n+1}} \mathrm{d}\zeta.}
{\displaystyle C}
为简单闭曲线，
的内部。被称为 Schlafli 公式。
此外可以使用
母函数
来定义 Legendre 多项式，这一想法最初是由 Legendre 在物理的势论中引入的：
{\displaystyle \begin{cases} P_1 (z) = z P_0 (z), \\ P_n (z) = \dfrac{2n-1}{n} P_{n-1} (z) - \dfrac{n-1}{n} P_{n-2} (z), \quad n > 1. \end{cases}}
导数关系：
在实函数空间上，该多项式为标准内积积分
的标准基函数（标准基底），且是完备的，因此一般的函数可以考虑
Legendre 展开
。
用
超几何函数
表示为
这一结果称为 Murphy 表达式。
{\displaystyle C = \{ \zeta \in \C, |\zeta - z| = \sqrt{z^2-1}, z > 1 \}.}
{\displaystyle P_n (z) = \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi (z + \sqrt{z^2-1} \cos \theta)^n \mathrm{d}\theta.}
以上积分公式是第一公式，还有如下第二公式
参考资料
