Butterworth 滤波器s函数及z变换 Part1

“本来打算介绍ERS&FDS 在频域上的计算，因为一个算法始终和参考文献对不拢，所以拖了很久很久，最近疫情在家，电脑游戏也玩腻了，就找个新的主题梳理总结一下。本文主要介绍Butterworth滤波器的s函数及z变换，以期对Matlab，Python等软件自带程序有更深入的理解，从而实现自行编程进行滤波计算。本文有很多数学公式推导，希望可以把该滤波器讲清楚。”

01

Butterworth滤波器频谱特性

在介绍Butterworth滤波器时，比较普遍的是仅介绍其幅频特性公式。如图1下，表示幅值和频率(角频率)的关系，其中N为滤波器的阶次，是正整数。

注意：图1上公式是错的，它没有注意到N的奇偶性。图1下是正确公式。

图1

同时还会画：幅值谱和相位谱（如图2）。

有些程序画图时，会对图2横坐标作归一化处理（即横坐标不是频率），如：Matlab中"butter"函数会默认定义横坐标为：fc/(Fs/2) ，其中fc是截止频率，Fs是采样频率。这增加了对该滤波器理解的难度。

图2

下面会对该滤波器公式作详细介绍和推导，以便参考并能画出图2。

02

s函数公式

本节逐步推导该滤波器公式的简化过程，特别要留意中间过程变量的定义。共分三步：

一，原始公式：

如图3，其中截止频率fc即幅值下降-3db的频率。特别要注意区分频率f（单位Hz）和角频率w（单位rad/s)。

图3

二，公式变化：

如图4，为了简洁，自变量也作了相应变化。

图4

三，公式简化：

如图5，该公式即为常用的简洁表达公式。

图5

利用图5公式，即可画出该滤波器的幅频图和相频图（图2）。后面的推导也基于此公式。

03

幅频特性推导

本节介绍对图5公式进行推导，从而得到图2的幅频特性公式。

对图5公式进行因式分解，得到图6：

图6

图6公式还可以写成如图7，可以让公式显示得短一些。

图7

对图7中 H(s)求模，即可得到幅频特性公式。我们先求其模的平方，即乘以它的共轭，其过程如图8:

图8

图8是将方程分母写成各极点的形式，图9是最后的推导，也是最难理解的部分：

图9

至此，推导出了图1下图的幅频特性公式，但总有一种似乎推导出却又没推导出的感觉～

因为有疑问，所以事情还没有结束～

在理解图9推导过程前，我们先画出图9方程的极点，它们分别是：紫色*，黑色*，红色*，绿色*，蓝色*

如图10，即分母上，各自括号内=0时，s的值。

图10

分别拿5阶、6阶滤波器来举例，将各自极点画在复数域上，如图11：

图11

下面，我们来反向思考图9最后几步的推导过程。

04

反向思考：复数的因式分解

我们对两种情况的 s 高阶次函数进行因式分解：

1）当N为奇数时，如图12：

图12

2）当N为偶数时，如图13：

图13

分别拿5阶、6阶滤波器来举例，分别用 图12、图13的公式计算 s 在复数域上的解（即图14中的红色圆圈 o ）。会发现：和图11中的各极点完全一致。

图14

所以，图9中公式的最后几步得以证明成立。

05

总结

如果要用Butterworth滤波器，看到 02 节图5就可以了。后续只是对它结论的倔强推导。

有些资料，对该滤波器的方程描述如图15（注意看分母和图12，图13是不是很像？），这也是正确的。因为它的极点和图5公式的极点是一致的。

图15

至此，s函数方程的介绍和推导完毕。接下来的文章会介绍以下内容：

1）s函数极点和传递函数的直观关系；

2）s函数进行z变换的方法（和采样频率Fs也有关系）；

疫情期间，祝大家：健康平安！

参考资料网址：

https://en.wikipedia.org/wiki/Butterworth_filter

有问题请指正，谢谢！