推论统计几乎完全以正态分布为基础的它的重要性可想而知．像线性规划的残差就是以它为假设，然后也是通过它的基础求解的．

再来熟悉你下的函数，有必要经常看一下,建议自己动手把公式显示你的面前，还要认识它的不同的样子．
$$P(X) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\big(\frac{x-\mu}{\sigma} \big)^2}$$
也可以是
$$P(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}$$
也可是
$$P(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2 e^{z^2}}}　_{…其中z=\frac{x-\mu}{\sigma}}$$

$P(X) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}} \Big( e^ {\big(\frac{x-\mu}{\sigma} \big)^2} \Big)^{-\frac{1}{2}}$
$e^{-\frac{1}{2}a}=\big(e^a\big)^{-\frac{1}{2}}$
$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$标准$z$分数，它并不是第一次出现．

图表

这是一个概率密度函数图形

这是一个累积分布函数图形

python中的正态分布

在python中的科学计算包 scipy 中，stats.norm.pdf（x），stats.norm.cdf（x）分别表示概率密度函数和累积函数，具体参数这里不做介绍．
下面是利用python绘图程序．

from scipy import exp, sqrt, stats
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.mathtext as mathtext
def f(t):
    return stats.norm.pdf(t)     #默认标准正态分布　＼mu=0 \sigma=1
z = 0.2
x = np.arange(-3, 3, 0.1)
y = f(x)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, figsize=(8, 8))
ax1.set_ylim(0, 0.45)
ax1.plot(x, y)     # 绘制标准正态分布
x2 = np.arange(-4, z, 1/40.)
sum = 0
delta = 0.001
s = np.arange(-10, z, delta)
for i in s:
    sum += f(i) * delta     # 累积
ax1.annotate(
    'area is ' + str(round(sum, 4)), xy=(-1, 0.25), xytext=(-3.8, 0.4),
    arrowprops=dict(facecolor='red', shrink=0.01)
ax1.annotate(
    'z = ' + str(z), xy=(z, 0.01)
ax1.fill_between(x2, f(x2))    # 填充
def f2(x):
    return stats.norm.cdf(x)     # 计算标准正态分布累积
y1 = f2(x)
y2 = np.ones(len(x)) * 0.5
x3 = [0, 0]
y3 = [0, 1]
ax2.plot(x, y1, 'r')
ax2.plot(x, y2, 'b-')
ax2.plot(x3, y3)
ax2.scatter([z, z], [f2(z), 0], c='b', marker='o')
ax2.annotate(
    'f(z)=f(' + str(z) + ') is ' + str(np.round(f2(z), 4)),
    xy=(z, f2(z)), xytext=(z-3, f2(z)), arrowprops=dict(facecolor='red', shrink=0.01)
ax2.annotate(
    'z is ' + str(z), xy=(z, 0), xytext=(1.5, 0.3),
    arrowprops=dict(facecolor='blue', shrink=0.01)
ax2.set_xlim(-3, 3)
ax2.set_ylim(0, 1)
m = r'$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$'
parser = mathtext.MathTextParser('Bitmap')
r, depth = parser.to_rgba(m, color='k', fontsize=12, dpi=120)
fig.figimage(r.astype(float)/255., 450, 580)
plt.show()
多利用电子表格熟悉图形和数值之间的关系．
本节excel文件下载链接
中文表格
可汗学院原表格
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统计学•目录 统计学•类别  math
中心极限定理一组数，[1, 1, 3, 4, 6, 6]（可以理解成把2，5点分别换成了1，6点的实验．），从这组数中取样本，假设样本为4．
我用python模拟了随机的过程，动画表示样本数100,
                            2019-01-01