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莱布尼茨公式

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求导法则中的Leibniz公式
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莱布尼茨法则 ，也称为 乘积法则 ，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
中文名
莱布尼茨公式
外文名
Leibniz formula
别    名
乘法法则
表达式
(uv)’=u'v+v'u
提出者
莱布尼茨（Gottfried Leibniz）
适用领域
导数
应用学科
高等数学

目录

  1. 1 基本信息
  2. 2 利用面积推导
  3. 3 推导过程
  4. 4 主要区别
  5. 5 相关人物

基本信息

播报
编辑
不同于 牛顿-莱布尼茨公式 （微积分学），莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其 高阶导数 ， [1]
一般的，如果函数
与函数
在点
处都具有
阶导数，那么此时有
也可记为：
其中，
为 组合数 ，
，
。

利用面积推导

播报
编辑
假设
且 f 和 g 在 x 点可导。那么：
莱布尼茨公式
以下的差
莱布尼茨公式
是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。
莱布尼茨公式
这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：
因此，(1)的 表达式 等于：
易得(4)的表达式等于：
因为当 w → x 时， f ( x )不变；
因为 g 在 x 点可导；
因为 f 在 x 点可导；以及
因为 g 在 x 点连续（可导的函数一定连续）。
可以得出结论，(5)的表达式等于：

推导过程

播报
编辑
如果存在函数
与
，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，
在
处也具有
阶导数，且
至于
的
阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：
…………
运用数学归纳法可证 [2]
上式便称为莱布尼茨公式（Leibniz公式）

主要区别

播报
编辑
由于名称相似，不少人将 牛顿-莱布尼茨公式 与莱布尼茨公式相混淆，事实上他们是两个完全不同的公式。
牛顿-莱布尼茨公式是 微积分 学中的一个重要公式，它把不定积分与 定积分 相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。其基本形式为
而莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的 高阶导数 而产生的一个公式。
二者存在本质上的区别。

相关人物

播报
编辑
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年—1716年），德国哲学家、数学家，和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为，莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是微积分中使用的 数学符号 ，因为牛顿使用的符号普遍认为比莱布尼茨的差。他所涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的 亚里士多德 。
 
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