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听过卡尔曼滤波的差不多有两年的时间了，虽然大致上明白其原理，但是也是直到现在才能够彻底掌握下来。主要是卡尔曼滤波算法涉及到比较复杂的数学公式推导。在很多博客上都有写卡尔曼滤波的相关文章，但都是花非常大的篇幅来通过一些例子来通俗地讲解卡尔曼滤波，对于不知道其数学原理的读者来说，看完之后依然是一知半解。
本文会先讲解最简单的单变量卡尔曼滤波，让大家知道卡尔曼滤波大致是什么样的，然后再详细地给出公式的推导过程，最后展示卡尔曼滤波在配对交易中的应用。
卡尔曼滤波
卡尔曼滤波(Kalman filtering)一种利用线性系统状态方程，通过系统输入输出观测数据，对系统状态进行最优估计的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响，所以最优估计也可看作是滤波过程。
最简单的单变量卡尔曼滤波，可以认为，我们观测的时间序列是存在噪声的，而我们可以通过卡尔曼滤波，过滤掉噪声，而得到了去除噪声之后的状态序列。
关于什么配对交易，什么是统计套利中的协整，知乎上有非常好的回答，在这里我们只讨论卡尔曼滤波在配对交易中的应用。
在配对交易中，我们构造了如下回归方程
然后利用该方程在样本外进行套利。那么，假如我们这里的a和B是会改变的，那么我们如何动态地去调整回归方程的系数？我们可以使用如下滤波的方式。
建立观测方程
建立状态方程
我们需要估计的状态为
下面以焦炭和螺纹为例，采用焦炭和螺纹主力连续合约的收盘价数据：
# 以焦炭的收盘价数据作为x，螺纹的收盘价数据作为y
# 螺纹价格 = alpha + beta * 焦炭价格 + 随机误差
from
pykalman
import
KalmanFilter
#建立观测矩阵
observation_matrices = np.vstack(( np.ones(len(df[:
'2013'
])),
df.loc[:
'2013'
,
'焦炭'
].values )).T
Shape = observation_matrices.shape
observation_matrices = observation_matrices.reshape(Shape[
0
],
1
,Shape[
1
])
#定义卡尔曼滤波的方程
kf = KalmanFilter(transition_matrices=np.array([[
1
,
0
],[
0
,
1
]]),
#转移矩阵为单位阵
observation_matrices=observation_matrices)
np.random.seed(
0
)
# 使用2013年以前的数据，采用EM算法，估计出初始状态，
# 初始状态的协方差，观测方程和状态方程误差的协方差
kf.em(df.loc[:
'2013'
,
'螺纹'
])
#对2013年的数据做滤波
filter_mean,filter_cov = kf.filter(df.loc[:
'2013'
,
'螺纹'
])
#观测值为螺纹
#从2014年开始滚动
start_index = np.where(df.index.year==
2014
)[
0
][
0
]
for
i
in
range(start_index,len(df)):
observation_matrix = np.array([[
1
,df[
'焦炭'
].values[i]]])
observation = df[
'螺纹'
].values[i]
#以上一个时刻的状态，状态的协方差以及当前的观测值，得到当前状态的估计
next_filter_mean,next_filter_cov = kf.filter_update(
filtered_state_mean = filter_mean[
-1
],
filtered_state_covariance = filter_cov[
-1
],
observation = observation,
observation_matrix = observation_matrix)
filter_mean = np.vstack((filter_mean,next_filter_mean))
filter_cov = np.vstack((filter_cov,next_filter_cov.reshape(
1
,
2
,
2
)))
#得到alpha和beta
alpha = pd.Series(filter_mean[start_index:,
0
], index = df.index[start_index:])
beta = pd.Series(filter_mean[start_index:,
1
], index = df.index[start_index:])
得到alpha和beta的值如下：
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