，它的梯度场可以表示为 。最

基本的曲面重建方法是基于线积分，并优化局部代价函数，但是它不能添加任何形式的正则项。Frankot和Chellappa [5] 以及Kovesi [6] 他们分别使用复杂的傅里叶变换和Shapelets，这两种方法都是周期性的，并不现实。Horn和Brooks [7] 提出了变分法，此方法目的在于根据重建曲面上的边界条件最小化最小二乘泛函，后来有很多学者也遵循这一思路。Harker [8] 等人将最小化泛函问题表达为一个半正定的Sylvester方程，提高了求解速度。

笔者借鉴Horn和Harker等人的思想，在最小二乘积分重建技术的基础上引入深度图与深度函数拟合后的Tikhonov正则项，利用L曲线选取最佳参数从而优化了Tikhonov最小二乘模型，提高重建精度。在Sylvester方程下使用Hessenberg-Schur (HS)算法进行求解。最后通过数值实验与现有的算法进行对比。

2. 最小二乘泛函曲面重建

2.1. 最小二乘模型

假设图像是通过正交投影获得的，并且表面具有明确的形式 ，将梯度空间参数细化为

$$ (a) 测试曲面Z (b) 梯度场Z _x (c) 梯度场Z _y

Figure 1 . Topographic map and its gradient field to be reconstructed

图1 . 待重建的地形图及其梯度场

将全局最小二乘(Global Least Squares, GLS)以及Dirichlet边界结果与本研究得到的结果进行比较。选择GLS的原因在于，一方面它和本研究一样，都是在Sylvester方程框架下进行求解，另一方面，当梯度场被高斯噪声破坏后，GLS是一个标准的解决方案；选择Dirichlet边界的原因在于，确定曲面的边界可以减少自由度的数量，从而减少未知数的数量，在这种情况下，Dirichlet问题的解是唯一的，同样可以利用Sylvester方程求解，并且对异常值具有极强的鲁棒性。

根据现有文献的方法，将 的高斯噪声添加到梯度场中，当受高斯噪声影响时，解析梯度不再是可积的。 图2 展示了 图1 中测试曲面Z被高斯噪声破坏时的梯度。

为了使得从被噪声破坏的梯度场中重建曲面的效果更好，本研究利用L曲线算法，选取100个要计算的L曲线上的点数，从中选取正则化参数 的最佳值。 的选择结果如 图3 中(a)所示。从图中可以看出，当 0.2833 时为最佳值，优化模型后重建的曲面如 图3 中(b)所示。 图3 中的(c)和(d)分别为GLS以及Dirichlet边界重建曲面的效果图，可以看出利用L曲线以及Dirichlet边界重建的曲面抑制噪声以及偏差的效果更好，但是本研究的方法在边界上要比Dirichlet边界更稳定更平滑；GLS以及本研究方法整体效果更优，虽然本研究方法在左侧和右侧边缘处高度值恢复有误差，边缘处有少量锯齿状的不稳定值存在，但是比GLS重建表面更光滑。

图2 . 测试曲面Z被高斯噪声破坏时的梯度

图3 . L曲线以及三种方法下的重建曲面效果图

为了更进一步分析三种方法的鲁棒性，采用均方误差(MSE)以及相对均方误差(RMSE)来衡量。

$$ 下表面尺寸为128 × 128下各算法的重建误差

从 表1 可以看出，本研究所采用方法比另外两种方法下的误差显著降低，其主要原因在于本研究中的方法通过惩罚曲面的平均曲率来对成本函数起作用，因此是一个低通型滤波器，可以达到消除噪声的目的，鲁棒性增强；GLS受异常值扰动的影响较大，因此鲁棒性弱于本研究中的方法；Dirichlet边界在图像边缘处鲁棒性较弱。

不同尺寸图像的计算时间比较的结果将在 表2 中展示。

表2 . 算法的计算时间

表2 结果显示，通过L曲线优化后的模型在小尺寸图像的重建上有着较强的优势，比另外两种方法快了将近0.1 s；在中等尺寸和大尺寸图像的重建中弱于GLS；虽然大尺寸图像上Dirichlet边界优势显著，但本研究仍具有较好的应用价值。

5. 结语

笔者通过引入L曲线来选取参数 的最优值，从而优化了Tikhonov最小二乘模型。利用有限差分思想将模型进行离散，使得离散后的解满足Sylvester方程。利用HS算法求解降低计算时间。仿真实验表明，在理想情况下，优化模型后的方法能够有效抑制噪声和偏差，在小尺寸图像上比五点差分格式的GLS耗时更短，误差更小；优化模型后重建出的三维图精度更高，更接近原始曲面，整体效果更优。未来考虑具有边界条件的Tikhonov正则化，设计出更快速有效的数值方法，进一步缩短重建时间，提高重建精度和质量。

基金项目

2022年湖南省教育厅科学研究项目(22A0368)；吉首大学校级科研项目(Jdy22012)。

文章引用

付飞凡,杨奋林,刘广英. 基于优化Tikhonov最小二乘模型的曲面重建
Surface Reconstruction Based on Optimized Tikhonov Least Squares Model[J]. 应用数学进展, 2023, 12(05): 2086-2093. https://doi.org/10.12677/AAM.2023.125212

参考文献