string-double 转换，这个问题非常复杂。以至于 gcc，glibc，VC，Java，PHP 等人们熟知的语言/运行时库都曾经写出过 bug ^[1] ，要么导致程序 crash，要么是结果有错误。

之前我在开发一种 JSON-like 的数据交换格式 ^[2] 的 C++ 实现 ^[3] 时，基于不可避免的原因，曾在这个库中内置了 string-double 转换 ^[4] 的功能。当时花了很多时间，参考了很多资料和实现，也做了很多 test。

string-double 有多种不同的算法，但有一种基于大整数的算法 ^[5] 使用广泛。虽然速度较慢，但有正确性的保证。这里无法展开所有代码层面的实现细节，只是简单地阐述一下它的过程。

例如，要把 1.2345678901234567e22 从 string literal 转换到 double 精度浮点数，

首先，将它表达为整数乘以 10 的 n 次幂：

1.2345678901234567e22 = 12345678901234567 x 10^6

也就是

12345678901234567 x 1000000 = 12345678901234567000000

然后转为分数表达。由于正指数将它实际变成了整数，所以分母取 1，也就是

12345678901234567000000 / 1

接着，为了将它缩放到 [2^52, 2^53) 这个范围内（请考虑 double 的有效位数），将分母乘以 2^21，

12345678901234567000000 / 2^21 = 12345678901234567000000 / 2097152

做除法后得到

12345678901234567000000 / 2097152 = 5886878443352969 余 1355712

由于 1355712 超过了分母的 1/2，根据 IEEE 标准，将它做一个 round-up，得到

5886878443352970

以二进制表达为

10100111010100001010110110010011100111011001110001010

由于前面做了缩放，分母乘以 2^21 了，所以这里要做一个逆操作，将它乘以 2^21

10100111010100001010110110010011100111011001110001010 x 2^21

归一化，

1.010011101010000101011011001001110011101100111000101 x 2^21 x 2^52

得到

1.010011101010000101011011001001110011101100111000101 x 2^73

最后，将它以 IEEE Binary64 编码：

0100010010000100111010100001010110110010011100111011001110001010

• 最前面的符号位是 0，代表正数
• 接着的 exponent 为 10001001000，十进制为 1096，由 73 + 1023（exponent bias）得到
• 后面 fraction 为 010011101010000101011011001001110011101100111000101
• fraction 为之前归一化得到的二进制的 1. 后的部分，这是因为浮点数中最前面的 1 是暗含的。所以它的十进制 1383278815982474 来自 5886878443352970 - 2^52

如果想要了解更多细节，可以从这里开始：

参考

1. ^ https://www.exploringbinary.com/topics/#correctly-rounded-decimal-to-floating-point
2. ^ https://www.eclog.org/
3. ^ https://github.com/Vallest/Eclog-CPP
4. ^ https://github.com/Vallest/Eclog-CPP/blob/main/Source/DoubleConversion.cpp#L221
5. ^ https://www.exploringbinary.com/correct-decimal-to-floating-point-using-big-integers/