利用 MATLAB 绘制点电荷电场线，软件 MATLAB ，源于课程设计题目（2021.06），此为用软件画点电荷电场线，同种以及异种电荷，单个及2个电荷。 适用人群，学生课程设计参考。 原理，以及代码内部，可见于待会儿的文章。 突破点：场点坐标与点电荷坐标求得电场力向量的角度，又可通过电场力大小公式求得其大小，通过极坐标与直角坐标的转换，得到 两个 点电荷分别对场点的电场力的向量坐标，将其坐标存入数组。E1与E2的向量坐标求和，就是场点总电场力的向量坐标。这样就解决了判断分量是相加还是相减的问题！ 再根据后续坐标迭代公式，利用 MATLAB 中ploy函数，以及调整for循环，while循环语句的位置，实现了完整的电场线的绘制。     曾经思考过曲面求交，结果发现是学术界的一个难题，并且也想出了一个当前广泛使用方法原理一样的近似解法（追踪法）。当然网上也有很多方法，只不过那些方法非常粗糙，无非就是meshgrid出离散网格，比较两曲面在某位置的坐标是否在某一精度范围内，然后标记显示之。这个方法仅仅当离散网格非常细的时候才比较精确。除此之外，还有个非常严重的问题：上面的“精度范围”不是你随心所欲给的，而且也没规律寻 找 ，当给得不恰当的时候，在格点处两曲面点作比较，会出很 多个 符合要求的点，或者一个也没有。这样就会使得交线非常曲折，甚至断裂等，严重影响精确度。 ———————————————————分割线————————————————————————     当然，既然有曲面求交，那么也有 曲线 求交，其基本结构就是两 曲线 求交。只是 曲线 求交问题，事先得澄清一些注意点：     1. 数学分析层面求两 曲线 交点 ，其实就是方程组求解；     2. “ 曲线 ”概念包括“直线”（处处曲率半径为无穷大）；     3. Matlab 的重点是离散点 矩阵运算，因此所有运算都是基于离散的，因而这里的 曲线 并不是绝对光滑的。     4. 近似试探与未知函数表达式。 对于1，我想说的是，如果你想要求得两 曲线 的精确 交点 ，并且一个不漏，那就直接求解方程组，不用看本帖下文； 对于2，直线在 Matlab 里面是 两个 点确定，因此 交点 如果是一段线（无穷个点）的情况，可能只是显示两端点为 交点 ； 对于3，很简单的例子，参数方程 x=cos,y=sin 在数学分析（即连续空间）层面上是个圆，但是如果你在离散t的时候，间距比较大，那么最后 Matlab 绘制的图像不是圆，而是正多边形了。因此，此时我们讨论 曲线 交点 是这个离散点连线的图形与其他图形的 交点 ，而非圆与其他 交点 。这也是我在标题中加了“离散点连成”的修饰词，防止被误会。 对于4，既然是求 曲线 交点 ，那么本方法可以作为求方程组的近似解。当然，如果离散点够多，解的精确度可以保证，不过不能保证一个不漏。另外就是，对于一组离散点构成的 曲线 ，很难知道它们的解析表达式，因此想通过非线性方程组求解的方法来求 交点 ，就不大可能了（不过你可以用 曲线 拟合出函数解析式），因此，本帖的方法将会是一个较为有效求 交点 的方法。     废话了那么多，下面就说说 曲线 求 交点 的方法吧。除了求解方程组，很多人想到的方法就是“离散点 判断距离是否足够接近”，这个方法原理跟引言中曲面求交的方法是一样的。因此缺点也是一样的——太粗糙了。网上这种方法的代码也很多，这里就不上了。 下面将阐述我的方法以及给出例子代码。     我有两种思路，一种是高级绘图层面的（不涉及到底层操作），一种是底层的。我只给出了第一种的代码，因为我不会底层操作。     思路一：既然 matlab 曲线 绘图是通过有序离散点依次连线形成，也就是说，通过“以直代曲”的过程，那么 曲线 交点 无非就是离散点（结点）或者两线段 交点 。这比上面直接用 交点 附近的结点替代 交点 的方法要精确得多了。而两直线 交点 很容易求，只要知道四个点坐标，那么 交点 精确坐标自然可以表示出来。这就是求 交点 的原理。只是还有一些细节处理和要注意的地方，我会留到后面再详细说。     思路二：仔细观察两 曲线 交点 的特性，很容易发现，其实 交点 就是操作系统底层绘图重叠的那些像素点。因此，只要给要绘制的像素点做个标记，将那些重合的点突出显示（比如换个颜色），那么就相当于显示出 交点 了。这种方法由于是本质性的，因此不会遗漏任何 交点 ，而且精确度极高，适用范围广。 Matlab 提供的plot plot3 surf等绘图函数都属于高级绘图，底层绘图（或称低级绘图）只有line surface以及patch等少数函数。但是，这里的“底层”并非真正的底层，因为它还是经过封装了的，而C 的MFC里面直接用刷子绘图，那才是依靠操作系统完成的真正的“底层”绘图操作（包括所有窗口都是操作系统绘制的）。这里扯远了，想要说明的就是底层绘图的概念而已。只是我不会用 matlab 实现这些底层绘图。     上面说了思路，下面就详细说说一些注意点和需要处理的细节。     为了算法的健壮性，就必须考虑各种奇异的情况，防止bug。我们要考虑 曲线 有分支（很多代数 曲线 是这样的，代数几何里面研究的东西）、间断跳跃（有绝对值函数或者存在渐近线情况）、首尾是 交点 、在切点相交，等等这些情况。而且对于定位 交点 处附近的四个最近端点也是个问题（因为这里存在一个情况，如果 曲线 1上的一条线段与 曲线 2上的两条或者以上的线段相交，我的程序因为这个问题没能有效解决，出现在一些非常特殊的情况下会遗漏部分 交点 ）。上面的情况如果不考虑，那么你的程序就会出现各种各样的问题。     对于通常情况，我考虑使用变号法则来判断 交点 （也就是高数里面“连续函数变号端点内存在 零点 ”），对于上面说的特殊情况，那么预先处理，比如先看是否存在eps内的，或者为零的结点，有则直接记录，没有的话，通过两线段求交来确定 交点 。至于遍历顺序的问题，为了简便，我指考虑两 曲线 离散点个数相同的情况（因为不同的话，会出现一些无法处理的情况），而且优先考虑离散点的坐标值中x或者y都相同的情况（比如x=0:0.1:pi; y1=sin, y2=x.^2这两条 曲线 的x值相同分布）。 下面是 曲线 y=cos.*exp)与y2=sin.^2 cos在[0:pi/18:2*pi]区间内的 交点 的代码： 注意：我没有写成接口的形式，虽然对于比那些较懒的人来说不太方便，但是这样做是为了让你能更好弄懂原理，并能自己改造代码。因此，下面的代码可以稍作修改，就能解决别的 曲线 求 交点 。这样，不愿思考的懒人就没法达到自己的目的了~% 绘制两离散 曲线 的 交点 % 注意： %   1. 这里的“ 交点 ”指的是离散点连线绘出的图形的 交点 ，而非函数或者方程理论分析上的 交点 ， %      因此，这个程序不能作为求根来用。 %   2. 要求两 曲线 的离散点的个数一样。 %   3. 两个 曲线 出现参数方程的话，大多数情况正常。但是经测试发现，对于某些非常特殊的情况会出现bug, %      除非调用ezplot的数据（xdata,ydata）。 % %   by kastin @Mar 21, 2012 clear; debug=false; %关闭显示求 交点 过程 % 曲线 1 x=0:pi/18:2*pi; y=cos.*exp); % 曲线 2 [x1 N]=sort;  %此处对于C1参数方程，C2为显式函数；或者均为参数方程时候有用 % 下面几句代码在本个案下没有什么特殊作用，但是当出现参数方程的时候，下面的方法改动一下就会有用。 y1=sin.^2 cos; %用于作图 x2=x; y2=sin.^2 cos; %用于寻点 h=plot; y<=eps)=0; y20; neg=cy<=0; %确定变号位置 fro=diff~=0; %变号的前导位置 rel=diff~=0; %变号的尾巴位置 zpf=find; %记录索引 zpr=find 1; %记录索引 zpfr=[zpf; zpr]; hold on % 观看求 交点 过程 if debug, hp=plot,y,'r.-',x2,y2,'g.-'); end %线性求交 x0=.*-y)-x.*-y))./ y2-y-y2); y0=y ).*-y)./-x); if any), y0=y2; end %加入已经判断为零的位置 x0=[x<=eps) x0].'; y0=[y<=eps) y0].'; hc=plot; %绘制 交点 if debug, legend;hp],'C1','C2',' 交点 ','微线段1','微线段2',0); end legend xlabel, ylabel, zlabel; title axis equal hold off disp disp) %排除重复的点复制代码经测试十几种奇怪的 曲线 相交（包括参数方程形式的 曲线 ），目前发现上述代码的方法有四种情况会出现遗漏一 两个 交点 。（其实上面代码本意是求显式函数的 曲线 交点 ，或者未知表达式的离散点 曲线 的 交点 ，并未针对参数方程，隐函数方程做优化，但是可以凑合着用用。）