复几何和代数几何有什么关系？

代数几何限制在复数域上称为复代数几何，而复代数几何是复几何的一种特殊情况，但不是主要感兴趣的情况，复几何主要是研究超越对象，也就是那些非代数的对象。比如代数簇是用多项式定义的，而复解析簇则是用解析函数的零点定义的，对复几何而言，后者比前者更有研究价值。究其原因，所有代数范畴内的对象只需要用代数工具就可以研究清楚了，而研究解析对象所用的工具则超出代数范畴，最典型的例子莫过于Grothendieck的algebraic de Rham定理，也就是说，虽然在一般的Stein manifold上有必要考虑全纯的微分形式，在affine algebraic variety上考虑algebraic differential form就可以了，这也可以看成是Serre的GAGA的一个例子，粗略地说，他证明了在代数对象上用解析工具（coherent analytic sheaf）定义的不变量（比如cohomology）与用代数工具（比如coherent algebraic sheaf）定义的不变量是identical的。虽然Chow lemma告诉你complex projective space中的解析簇都是代数簇，但对于非紧的解析簇而言这并不成立，例如Grauert证明了对于affine variety A 而言， H^{2k}(A;\mathbb{Q}) 中的每个上同调类都可以找到analytic subvariety作为它的representative，但Cornalba和Griffiths证明了这些analytic subvarieties大都是transcendental的，并且它们的transcendental degree和 A 的紧化 \overline{A}\subset\mathbb{P}^N 上的Hodge theory有关。

复代数几何中一个很重要的方向是transcendental algebraic geometry，它考虑怎样用解析工具来研究代数簇的几何。比如Griffths研究的variation of Hodge structure，一开始就是就是用解析工具定义的，因为Hodge theory最自然的适用对象是Kahler manifold，而非projective variety。（事实上，想要定义Hodge structure，连Kahler的假设都不需要，只需要Chern connection torsion free，见陈先生自己在上世纪50年代的文章： On a Generalization of Kähler Geometry ）当然，由于GAGA的存在，这些理论都是可以代数化的，但解析工具带来的几何直觉却是不可或缺的：比如Kodaira消没定理，直到80年代末才找到代数的证明： https:// publications.ias.edu/no de/403 。