一个几何或者物理问题的解通常通过一个函数来描述：地球上每一点的温度，曲面上每一点的曲率，击中在你视网膜上每一点的光亮，等等。所以可能函数组成的空间十分惊人的大——过于大以至于不能在计算机上表示。有限元方法（finite element method (FEM)）背后的思想是选取一个更小的函数空间并且并且尝试从这个空间中找到最有可能的解。更特别地，如果 $u$

$\tilde{u} = \sum_i x_i \phi_i, x_i \in \mathbb{R}$

使得差值 $\| \tilde{u} - u \|$

让我们从一个非常简单的问题开始：假设我们有一个向量 $v \in \mathbb{R}^3$

由于 $\tilde{v}$

$\begin{aligned} (\tilde{v} - v) \cdot e_1 &= 0 \\ (\tilde{v} - v) \cdot e_2 &= 0 \end{aligned}$

在这个情况下我们得到了对于两个未知数的由两个线性方程组成的系统，并且可以很容易地计算最优向量 $\tilde{v}$

现在有了一个更难的问题：假设我们想要解一个标准泊松问题

$\Delta u = f$

我们如何验证给定的函数 $\tilde{u}$

$\langle \Delta \tilde{u} - f, \phi_j \rangle = 0$

再一次得到了一个线性方程系统。这个条件保证了解在大量可能的“测量”集合上表现得像真正的解。

接下来，让我们得到对于一个三角曲面的系统细节。基函数最自然的选择是逐片线性帽函数（hat functions） $\phi_i$

此时你可能会反对：如果所有的函数都是线性的，并且 $\Delta$

$\begin{aligned} \langle \Delta u, \phi_j \rangle &= \sum_k \langle \Delta u, \phi_j \rangle_{\sigma_k} \\ &= \sum_k \langle \nabla , \nabla \phi_j \rangle_{\sigma_k} + \sum_k \langle N \cdot \nabla u, \phi_j \rangle_{\partial \sigma_k} \end{aligned}$

如果这个网格没有边界那么最后的和会消失，因为相邻三角形的法线是相对的方向。因此沿着共享边的边界积分互相抵消了：

这种情况下，在每一个三角形 $\sigma_k$

$\langle \nabla u, \nabla \phi_j \rangle$

换句话说，我们可以“测试” $\Delta u$

$\langle \nabla u, \nabla \phi_j \rangle = \langle \nabla \sum_i x_i \phi_i, \nabla \phi_j \rangle = \sum_i x_i \langle \nabla \phi_i, \nabla \phi_j \rangle$

现在关键的事情变成了在每个三角形中两个基函数梯度之间的内积。如果我们可以计算这些，那么我们可以简单地构造矩阵

$A_{ij} \coloneqq \langle \nabla \phi_i, \nabla \phi_j \rangle$

并且求解对于系数 $x$

$Ax = b$

其中右手边的元素被给定为 $b_i = \langle f, \phi_i \rangle$

将所以的事实放在一起（有几个练习没有翻译），我们发现我们可以通过著名的余切公式表示顶点 $i$

$(\Delta u)_i = \frac{1}{2} \sum_j (\cot \alpha_j + \cot \beta_j)(u_j - u_i)$

其中我们在顶点 $i$

FEM的方式显示了一种相当标准的做法去离散化偏微分方程。但是让我们尝试一个不同的方法，基于离散外微积分（DEC）。相当有趣的是，虽然这两个方式十分不同，但是我们最后会得到一样的结果！

再一次我们想要求解泊松方程 $\Delta u = f$

$\star d \star d u = f$

我们早就在笔记中概括了如何使用离散外微积分离散化这类表达式，但是让我们一步步来。我们开始于一个0-型 $u$

接着，我们计算离散外导数 $du$

$(du)_{ij} = \intop_{e_{ij}} du = \intop_{\partial e_{ij}} u = u_j - u_i$

（注意到边的边界 $\partial e_{ij}$

$(\star du)_{ij} = \frac{|e^{\star}_{ij}|}{|e_{ij}|}(u_j - u_i)$

其中 $|e_{ij}|$

$(d \star du)_i = \intop_{C_i}d \star du = \intop_{\partial C_i} \star du = \sum_j \frac{|e^{\star}_{ij}|}{|e_{ij}|}(u_j - u_i)$

最后的Hodge星简单地将这个量除以 $C_i$

$(\star d \star du)_i = \frac{1}{C_i}\sum_j \frac{|e^{\star}_{ij}|}{|e_{ij}|}(u_j - u_i) = f_i$

其中 $f_i$

$d \star du = \star f$

换句话说，我们将0-型项的等式转变为n-型项的等式。当在曲面上操作的时候，算子 $d\star d$

目前我们已经给出了一类像拉普拉斯算子的“算法的”描述。比如，我们确定在顶点 $i$

$(\Delta u)_i = \frac{1}{2}\sum_j (\cot \alpha_j + \cot \beta_j) (u_j - u_i)$

其中和是在 $i$

$\Delta u = f$

的系统。（为了让事情更麻烦，一些线性求解器非常喜欢使用被成为回调函数的算子的算法表示——然而，实际上我们就是需要矩阵。）

在泊松方程的情况中，我们想要对于任意一个顶点处值的向量 $u \in \mathbb{R}^{|V|}$

$(Bu)_i = \sum_ju_j$

我们如何构造一个矩阵表示这个算子呢？将 $B$

我们给哪个顶点具体分配哪个数字并不是很重要，只要没个顶点都有一个数字并且每个数字都有一个顶点就可以了。这个网格有12个顶点并且顶点1和顶点2，3，4，5，9相邻。因此我们可以计算邻域值的和为

这里无论何时顶点 $j$

（你可以验证这个矩阵是对的，或者你可以出去晒晒太阳，这是你的选择。）实际上，幸运的是，我们不必“手动“构建矩阵——我们可以简单的开始于0矩阵然后通过循环我们网格的局部邻域去使用非0元素填充它。

最后，一个重要的需要注意的事情是 $B$