A. 牛顿的万有引力定律、万有引力常数(big G)和重力加速度(little g)

如你读过物理的话，你应该会知道艾硕牛顿提出行星和行星之间、月球和地球之间，以至树上掉下来的苹果，全部都受由他提出的「万有引力定律」主宰。这个定律主张两个质量之间的吸引力，是两者质量的积除以彼此距离的二次方，再乘以万有引力常数 G 。这道数式可显示如下︰

万有引力常数 G 在英语中时常被称为「Big G 」，但它的数值是非常小，约为6.674 3 x 10 ^-11 m ³ kg ^-1 s ^-2 ，反映万有引力比电磁力薄弱得多。以雪柜上贴着的磁石纪念贴为例，整个地球的质量释出的万有引力，其实也比不过那块磁石对雪柜门所产生的磁力呢！

万有引力常数「Big G 」 与重力加速度「Little g 」很容易令人混淆。重力加速度是指物体受地球的引力场影响而出现的运动加速度，根据牛顿运动第二定律，这股力量可显示为算式(2)当中的 mg ， m 即是物体的质量。

B. 引力加速度对计量学非常重要的原因

二十世纪前，测量重力加速度的主要目的是为了认识地球的形状和了解地壳表面的质量分布。其后，测量重力加速度不单受大地测量师重视，对计量学家来说，测量重力加速度对力学、扭力和压力亦尤其重要，这些测量利用已知质量在重力加速度下产生的重力作仪器校正。

B.1 产生已知力

就校正载荷感测器等力学测量仪器而言，力标准装置是最准确的测量工具。在国际单位制中，力的单位是牛顿(N)，力标准装置产生的力( F )可从下列数式得出︰

在数式中， m 是所施加砝码的质量， g 是引力产生的重力加速度， ρ _m 和 ρ _a 则分别是砝码和环境空气的密度，而空气密度 ρ _a 的数值只要使用由气压、温度和湿度的函数表示的近似公式进行运算便可得出[1][2]。

B.2 产生已知扭力

与测量力学相似，扭矩标准装置是最能准确校正扭力感测器等扭力测量仪器的工具。

图2 在标准及校正实验所的扭矩标准装置

在国际单位制中，扭力的单位是牛顿米(N．m)，扭矩标准装置产生的扭力( T )可从下列数式得出︰

在数式中， m 是所施加砝码的质量， g 是引力产生的重力加速度， d 是扭矩轴中心和施加砝码之间的距离。

B.3 产生已知压力

气体或液体活塞压力计标准装置都是测量压力的常用标准，其运作原理是透过在精密活塞装置的有效面积上施加已知质量的砝码所产生的力来计算工作介质的压力。

在数式中， m 是所施加砝码的质量， g 是引力产生的重力加速度， ρ _a 和 ρ _m 分别是环境空气和砝码的密度， A ₀ 是处于零压力下的有效面积， a 是活塞有效面积的失真系数， P _n 是等于 mg / A ₀ 的基本压力， α _p 和 α _c 分别是活塞和汽缸的物料每摄氏度的线性热膨胀系数，而 t 则是活塞的温度。

C. 运用物理学估算 g 的数值

C.1. 基础物理学中的 g

要计算地球表面的 g 数值，看起来只需直接运用算式(1)和(2)即可。以一个苹果为例，假设 m ₁ 等于地球的质量( M ≈ 5.972 19 x 10 ²⁴ kg)，m ₂ 是苹果的质量， r 是苹果与地心之间的距离，我们会得出︰

惟地球并非一个正圆球体，而是呈扁椭型的球体，因此 r 的数值在赤道会较南北两极的半径数值为大。从事地质测量学的科学家通常以椭球体代表地球的形状，而其中广为采用的椭球参数是WGS-84坐标系。虽然本文不会详细说明WGS-84，但我们亦可把WGS-84的数据代入数式(6)，看看在赤道、北极和本港标准及校正实验所力学实验室的 g 数值分别为何。结果列于表1。

不过，这些估值准确吗？

香港
（力学实验室） 纬度 λ（度） 22.314 84 与地心（WGS-84椭球参数）的距离（米） 6 356 752.314 6 378 137 6 375 076 运用 得出的 g 数值 9.864 36 9.798 32 9.807 73 表1 运用 估算的 g 数值

C.2. 国际重力公式

从事地质测量的人员时常会运用国际重力公式，用来计算某纬度为λ的位置的理论重力。这道公式能够相当准确地估算出地球上不同地方的 g 数值。下列版本的公式是由Aziz 于2010年提出[3]︰

运用国际重力公式，便能得出赤道、北极和力学实验室的 g 数值，结果载于表2。表1和表2的计算结果迥异，就北极所得出的数值相差达0.33%，原因是什么呢？

香港
（力学实验室） 纬度 λ（度） 22.314 84 运用国际重力公式得出的 g 数值 9.832 19 9.780 33 9.787 78 表2 运用国际重力公式计算的 g 数值

C.3. 影响 g 数值的其他因素

在推算数式(6)的过程涉及若干假设，其一是忽略地球自转的影响，其二是假设两个质量均为点质量。稍后让我们看看这些因素对 g 数值有什么影响。

C.4. 地球自转对 g 的影响

地球自转对物体产生离心力，而离心力的强度取决于该物体的质量( m )、地球自转速度(ω)的二次方，以及该物体与地球自转轴的距离( d )︰

就处于纬度 λ 的物体而言， d 等于 r cos λ ， r 是该物体与地心之间的距离。离心力( F )属外向力，并与自转轴形成直角，而 F 与引力相对的组成部分为 F cos λ 。因此，引力对应地球自转应按 F cos λ 的因子或者是 mrω ² cos ² λ 减少，而 rω ² cos ² λ 则为 g 相应减少的数值，地球自转速度 ω 值为7.292 115 x 10 ^-5 rad s ^-1 。

表3是表1的数据经修正后的结果。由此可见，地球自转并不足以解释表1和表2的结果之间的差异。

香港
（力学实验室） 纬度 λ（度） 22.314 84 与地心（WGS-84椭球参数）的距离（米） 6 356 752.314 6 378 137 6 375 076 (A) 运用 得出的 g 数值 9.864 36 9.798 32 9.807 73 (B) rω ² cos ² λ .
（因地球自转产生离心加速度的修正） 0.000 00 -0.033 92 -0.029 01 (A) + (B) 9.864 36 9.764 41 9.778 72 表3 因地球自转而修正的 g 数值

C.5 因地球并非正圆球体而产生的影响

严格来说，数式(1)只适用于两个质量点之间的情况。由于地球的质量并非集中于中心的某一点，因此数式(6)的结果仅为近似值。

假如一个物体的质量分布于某体积内，便可运用数式(1)计算该体积内所有质量的影响总和，从而得出在 P 点因该物体而产生的引力场。计算总和的过程涉及运用繁复微积分来解开拉普拉斯方程(Laplace Equation)和泊松方程(Poisson Equation)，这两道方程会在「附加说明」部分另作简述，本部分只会论述相关结果。由于地球并非正圆球体，引力场涉及另一个根据纬度λ的程式项，这个程式项有时被称为地球引力场的次级方程项，而其对 g 的影响表达如下：

在数式中， J ₂ 是地球椭圆率的量度、 M 是地球的质量，而 a 是赤道半径。 J ₂ 采用大地测量参考系统的通用值为1.08263 x 10 ^-3 。我们把这次级方程项加入表3以得来获得表4的计算结果，便会发现所得计算结果与国际重力公式的计算结果相当一致。

香港
（力学实验室） 纬度 λ（度） 22.314 84 与地心（WGS-84椭球参数）的距离（米） 6 356 752.314 6 378 137 6 375 076 (A) 由 计算出的 g 数值 9.864 36 9.798 32 9.807 73 (B) 因应地球自转的离心加速度而作出的修正 0.000 00 -0.033 92 -0.029 01 (C) 次级方程项 -0.032 25 0.015 91 0.009 05 (A) + (B) + (C) 9.832 10 9.780 32 9.787 77 表4. 因应地球自转和次级方程项作出修正后的 g 数值

附加说明：地球引力场的多极展开式

本部分适合高阶程度的读者，一般读者可省略不看。下文会透过微积分解释地球引力场的多极展开式。

假如一个物体的质量分布于某体积( V )内，便可运用数式(1)计算该体积内所有质量( dM )的影响总和，从而得出在P点因该物体而产生的引力场。在这类问题中，先解开属于非向量的引力势( U(P) )会较为容易。在 P 点因质量 dM 而产生的引力势，可由 GdM/q 计算得出。在 P 点的总势能如下：

有一道广为人知的数学公式说明了1/ q 与 r 、 s 和cos θ 的关系，当中应用了著名的勒让德多项式，包括 P ₀ (X) = 1、 P ₁ (X) = X，以及 P ₂ (X) = (3X ² -1)/2等。

展开后便可得出：

运用上述数式后， U(P) 可展开为：

数式(13)右边第一个项是初级方程项，进行积分后会变成 -GM/r 。就 U(P) 相对于空间坐标( r )进行微分后，便可得出重力加速度( GM/r ² )，这正正与针对两个点质量的牛顿引力定律一模一样。如果物体为均匀球体，在多极展开式中只有初级方程项并非零。

第二个项是次级方程项。如果物体的质量中心被选定为原点( O )，次级方程项即为零。

第三个项是三级方程项（在多极展开式中此项亦会被称为四极距）。由于地球不是正圆球体，而是两极扁平的扁椭圆球体，因此三级方程项并非零，其数值可在进行积分后按下列数式计算得出，并视乎 r 的方向而定。

其中 A 、 B 、 C 和 I 分别是围绕 x 、 y 和 z 轴及方向 r 的转动惯量。假设地球的质量围绕转轴对称分布，则 A = B ≠ C ，而 I = A + (C-A) cos ² θ 。在大地测量学中， (C-A) 通常会以 J ₂ Ma ² 表示，其中 M 是地球的质量，而 a 是赤道半径。最后，适用于地球的数式(13)可简化为下列数式：

多极展开式还包括其他高阶方程项（例如四级方程项和五级方程项等），惟其数值对地球的影响可忽略不计。

就 U(P) 相对于 r 进行微分后，便可得出以下的重力加速度：

在地球上， θ 是余纬度并相等于(90°-λ)，其中λ是纬度。若以纬度表示数式(16)，便可得出：

然而，对计量学的应用来说，该准确度并不足够。 g 在某地点的实际数值，还取决于高度、地形、岩石密度、以及该地点周围的地幔和地壳的不均匀性。为取得适合计量学应用的准确度， g 的数值必须以重力仪测量进行实地测量。

D. 标准及校正实验所在1990年以相对重力仪测量重力加速度

1990年7月，英国地质调查所(BGS)受前土木工程署辖下的土力工程处委托，在中国香港和隶属前工业署的标准及校正实验所展开一项关于引力的大型调查[4][5]。

英国地质调查所在1990年进行有关调查时，采用了属于相对重力仪的拉–罗氏G型重力仪，其读数准确度最高达1 x 10 ^-7 米／平方秒。当时，这种重力仪是1971年国际重力标准网(IGSN71)所采用的主要仪器，而该标准网属于全球性网络，亦是绝对重力测量的参考标准框架[6]。

中国香港在1970年代共设有十个IGSN71基站，直至1990年仅余三个。英国地质调查所在1990年进行有关调查，重新确认余下三个基站的一致性，并设立四个新基站。调查期间，英国地质调查所在全港18个不同地点（例如在香港岛香港大学的科学馆、九龙李郑屋汉墓的入口、大屿山的梅窝警署，以及新界大帽山的三角测量站等），进行共71 次重力观测，测量所得的重力加速度介乎9.785 398 5 米／平方秒至9.787 624 9 米／平方秒。

1990年7月5日和6日，英国地质调查所分别在标准及校正实验所辖下位于九龙湾分所的力学实验室和位于湾仔入境事务大楼总所的质量实验所，进行实地重力测量工作。由英国地质调查所提供测量所得的重力加速度摘录于表5，测量的不确定度为5 x 10 ^-7 米／平方秒。

E. 标准及校正实验所在2019年以绝对和相对重力仪测量重力加速度

标准及校正实验所沿用了英国地质调查所所提供的重力数值超过25年。随着分所和总所周围的环境经历种种变迁，加上技术评审专家提出建议，标准及校正实验所认为重新测量重力数值实属必要，遂于2019年2月委托数位来自中国计量科学研究院(NIM)的专家，前往位于九龙湾的力学实验室和位于湾仔的质量实验所、振动实验所和压力实验所，对重力加速度进行实地测量。

力学实验室设置了由中国计量科学研究院研发的NIM-3A型[7]高精度绝对重力仪。该重力仪所测量的重力数值会作为参照基准，其运作原理是在真空管内掉下一个物体，然后以激光干涉仪测量该物体掉落一段指定距离所需的时间[8][9]。接受测试的质量的加速度可根据测定的掉落轨迹直接计算得出，然后以相对重力仪测量在质量实验所、振动实验所和压力实验所的重力数值。

图4 用于测量在力学实验室的重力加速度的绝对重力仪 图5 用于测量在质量实验室、振动实验室和压力实验室的重力加速度的相对重力仪

中国计量科学研究院专家测量所得的重力加速度摘录于下表，测量的不确定度在5 x 10 ^-7 米／平方秒之内。

牛顿的万有引力定律适用于所有物体。不过，推算数式(6)的过程涉及若干假设，其一是假设两个质量均为点质量，即代表其几何尺寸并不重要。此外，地球是扁椭圆球体而非正圆球体，密度并不均匀，质量分布也不一致，并会持续自转。另外， g 的数值会随着高度的增加而按每米3.086 x 10 ^-6 的比率（约每米-0.000 031 5%）下降。上述所有因素均可用来解释 g 的测量数值与估算值之间的偏差。

参考资料：

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Giacomo, P., “Equation for the determination of the density of moist air” (1981), Metrologia 18, 33 (1982).

Aziz, N., Majid, B. and Jorg, E. (2010), “Gravity and Magnetic Data Acquisition Over a Segment of the More-Trondelag Fault Complex”, NGU Report 2010.049.

EVANS R B (1990). Hong Kong gravity observations in July 1990 with BGS Lacoste and Romberg meter No. G97 and international connections to IGSN 71. British Geological Survey Technical Report WK/90/24R.

Busby, J.P., Evans, R.B., Lam, M.S., Ridley Thomas, W.N. & Langford, R.L. 1992. The gravity base station network and regional gravity survey of Hong Kong. Geological Society of Hong Kong Newsletter, Vol. 10, pp 2 - 5.

C. Morelli, C. Gantar, T. Honkasalo, R.K. McConnell, J.G. Tanner, B. Szabo, U. Uotila, C.T. Whalen, The International Gravity Standardization Net 1971. Special Publication No 4 of the International Association of Geodesy, 1974.

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Shuqing Wu, Tianchu Li. Technical Development of Absolute Gravimeter: Laser Interferometry and Atom Interferometry[J]. Acta Optica Sinica, 2021, 41(1): 0102002(in chinese)吴书清, 李天初. 绝对重力仪的技术发展: 光学干涉和原子干涉[J]. 光学学报, 2021, 41(1): 0102002

1). 引言

智能电话内置各式各样的感应器，为电话系统提供不同的功能。电话程式开发者亦在研发的过程中注入创意元素，利用这些内置感应器开发出各种新颖有趣的流动应用程式。测光表应用程式就是其中一种用于摄影或照明设计的流动应用程式，声称能利用智能电话提供简易、方便的光照度测量。市面上有多款测光表应用程式，但这些程式能否准确测量光照度？或者说，它们测量的物理量，是否正是光照度呢？

>>何谓光照度？

测光表用于测量光照度，而光照度是指每单位面积接收到的光通量(lm/m ² ) [4]。光照度的物理表达式为
其中 E _v 是光照度，A是探测器所涵盖的测量面积，而 Φ _v 则是在面积A所接收到的光通量。光照度的国际单位制(SI)单位是勒克斯（lux, 符号为lx），因此测光表又通称为光照度计／勒克斯计。 光通量（单位：流明（lumen, 符号为lm））是光度学的量，为光源输出的总光量，与正常人眼睛对不同波长辐射的感光度相关。在一般情况下，光源于球面范围 S1 和球面范围 S2 （见图F1）内的总光通量相同。一个涵盖测量面积 A 的探测器在两个不同距离 r1 和 r2 的位置上所接收到的光通量，会按照总光通量的 比率（即 ）而有所不同。因此，光照度会遵从著名的平方反比定律，与 1/r ² 成正比：
V(λ)滤光镜是一个带通滤光镜，在可见光谱中具有不同的光谱透射比，特别为配合光电二极体的电气特性而设，以提供与图4所示人眼明视觉响应的光谱光视效率函数（或称V(λ)函数）匹配的整体相对光谱响应度[1]。人的视觉只能看见可见光谱（波长约介乎约380纳米至780纳米之间[1]），并对「绿色」（波长约555纳米）最为敏感，对蓝光和红光波长区域的敏感度较低，而对紫外光和红外光则没有反应。不过，硅探测器等光电二极体能对包括可见光谱、紫外光以至红外光范围的广阔光谱作出反应。因此，V(λ)滤光镜旨在阻隔紫外光和红外光，并提供与人眼的V(λ)函数匹配的整体光谱响应度。测光表中的光电二极体会汇聚所有属可见光谱范围内的光线，然后产生以安培(A)为单位的输出电流，其数值与勒克斯值成正比。当我们得知光电二极体的光照度响应度(A/lx)后，便可测量光照度的数值。 图4. 人眼的光视效率（V(λ)）函数

>>何谓光透射比？

光透射比是指光线穿过表面时的透射光辐射和入射光辐射之比。举例来说，制造防蓝光玻璃时可加上反光涂层，一方面反射紫外光以至蓝光，另一方面让其他波长的光线通过（如图F1所示）。 图F1.（a） 光透射比、反射率和吸光度；（b） 防蓝光玻璃的光透射比 智能电话使用的测光表应用程式主要有两种，分别有利用环境光感测器和由相机作为光检测器。第一种（下称「环境光感测器型测光表应用程式」）较常见于使用安卓(Android)作业系统的电话，当中的环境光感测器开放予软件开发者使用；而iPhone电话则不鼓励开发者使用环境光感测器，凡使用这种感测器的应用程式均未能在App Store应用程式商店获得批准上架。这项限制令多数为iPhone而设的测光表应用程式只能选用相机作为iPhone的光检测器，这种程式下称「相机型测光表应用程式」。 智能电话的相机在变焦和成像方面的光学设计较为复杂，惟设计专为摄影而设，并非用于测量光照度。在使用环境光感测器与相机作为光检测器时，两者之间的主要差别如下：

环境光感测器直接测量光照度。
使用环境光感测器测量光照度时，应将其放在面向光源的目标区域。

相机测量目标区域的亮度（在光度学而言，亮度和光照度是两个不同的物理量）。
测量目标区域的光照度时，相机会拍摄该区域的影像以测量亮度，并透过假设该区域的反射率来把亮度换算成光照度。 由于相机型测光表应用程式在估算目标区域反射率时的不确定度较大，其准确度较环境光感测器为低，故下文将不再作深入讨论，而会集中探讨以环境光感测器进行的测量。

>>何谓亮度？

亮度通常指目标区域的光暗度。正式的定义是：在特定方向上某特定点的亮度( L _v )，是指每单位球面度(sr)和每单位投影面积(m ² )垂直于指定方向的光通量(lm)，其测量单位为lm/sr/m ² [4]。 相机检测的物理量是目标区域的亮度。

相机感应器如何测量光照度？

相机通常会从有限的角度对焦目标区域并构成影像，然后测量目标表面反射光的光通量「密度」。如辐射功率或目标与光源之间的距离不变，目标区域的光通量「密度」亦会维持不变。因此，即使相机与目标表面之间的观察距离改变，相机仍会自动重新对焦该表面而得出相同的亮度结果。 图F2阐述相机如何估算光照度。光源照射目标区域的光照度是 E _v ，目标表面的反射亮度将会聚焦于相机感应器上作检测，其强度取决于目标区域的光照度 E _v 和目标表面的反射率 R 。之后，相机会透过假设反射率（例如基于过往的测试状况[5]）来得出光照度。由于这个方法在估算目标区域反射率方面的不确定度较大，因此测量光照度的准确度较低。 图F2. 目标区域在相机感应器上的成像。光源在距离 r 下照射目标。假设照射分布均匀， E _v 是目标区域的光照度， R 是有关表面的局部反射率，而Ω则代表观察系统的角度。 图F3是一项简单实验，利用传统仪器级别的测光表和安装了相机型测光表应用程式的智能电话来量度目标表面的光照度，从中展示目标区域的反射率对有关应用程式读数的影响。相机型测光表应用程式因应反射率不同的目标表面，录得的光照度读数差距甚大－黑色背景录得38 lx，白色背景录得159 lx；传统测光表的读数则较为一致，约为256 lx。 图F3（a）利用智能电话相机作为反射式测光表进行实验；以相机测量（b）黑色表面和（c）白纸录得的光照度读数。传统照度计的读数约为256 lx。 图8（a）中的环境光感测器（下称「A类」）配备四个分别可响应红色、绿色、蓝色和白色光谱的光电二极体，这类环境光感测器亦可附有用于多重颜色感应的高光谱感应器阵列。这款环境光感测器晶片或其软件推动程式会对三原色感应器或白色感应器的感应电流分配不同的加权因子，用以计算「勒克斯」的数值。智能电话相机的影像感应器, 配备多组三原色感应器（或像素）, 便类似这种环境光感测器。例如，三原色感应晶片可应用加权算式「(0.2126*R) + (0.7152*G) + (0.0722*B)」[2, 3]，从「红(R)」、「绿(G)」、「蓝(B) 」颜色像素的输出水平计算出光照的强弱。 图8（b）是双频式环境光感测器（下称「B类」），它配备一个宽带感应器和一个红光至红外光感应器。B类光感测器会先计算两个感应器的输出电流的差额净值，再乘以修正因数来估算「光照度」的数值。 而图8（c）则展示另一款环境光感测器（下称「C类」），其光谱响应度与发光效率函数十分接近。 图8 环境光感测器晶片的常见类型（（a）A类、（b）B类、（c）C类） 图9是上述三款常见的环境光感测器的标准化光谱响应度与V(λ)函数的比较，其中曲线(a1)是在可见光谱内有一条通带的A类白光感应器的光谱响应度；曲线(a2)是A类三原色感应器经过加权算式「(0.2126*R) + (0.7152*G) + (0.0722*B)」运算后得出的光谱响应度；曲线(b)是B类设计从宽带感应器减去红光至红外光感应器反应后得出的光谱响应度净值；而曲线(c)则是C类设计的光谱响应度。图9的图表显示，A类和B类设计（即曲线(a1)、(a2)和(b)）的光谱响应度与V(λ)函数差异甚大， 其中B类设计在测量中吸收过量紫外光和红外光，而C类设计则与V(λ)函数较为吻合。不过，C类设计的滤光镜透射谱向红光偏移，且在紫外光波长范围出现一个细小的透射波峰，因此C类设计的滤光镜质素仍有改善空间。 图9 A类至C类环境光感测器的标准化光谱响应度与V(λ)函数的比较 在两种情况下，A类白光感应器在蓝光区（波长约为400纳米至500纳米之间）和红光区（波长约为600纳米至680纳米之间）接收到的灯光功率均较高。例如，图10（a）中LED灯的蓝光波峰顶点(*)会成为环境光感测器的其中一大电流输出来源，导致光照度测量结果产生错误。再者，不同型号的智能电话亦可能内置了不同的环境光感测器晶片，即使利用相同的测光表应用程式，勒克斯读数仍会受不同型号的智能电话内的光感测器影响，使用者或难以知晓光照度测量结果的准确性。 综合以上讨论，虽然智能电话的测光表应用程式能提供十分方便的测光方法，惟使用者如重视光照度测量结果的准确性，便须留意这种测量系统的各种局限。 参考资料︰
[1] ‘Illuminance meters – Requirements and test methods’, British standard BS 667:2005.
[2] ‘Smartphone-Based Light Intensity Calculation Application For Accessibility Measurement’, N. Negar et al., RESNA ANNUAL CONFERENCE – 2014.
[3] ‘Why You Should Forget Luminance Conversion and Do Something Better’, Rang M. H. Nguyen et al., 2017 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR).
[4] ‘Handbook of applied photometry’, C. DeCusatis; Optical Society of America, 1997
[5] Estimating luminance and illuminance with reflection-type exposure meters and an 18% neutral test card, Kodak, 1999 思考过这个问题的人会发现，温度与热力学第二定律有密切连系。因此，国际单位制(SI) 便特别为这个物理量采用「 热力学温度 」一词。为简单起见，本文余下部分将以「温度」指称「热力学温度」。 在七个国际单位制基本单位所代表的量中，温度的物理意义被指是最难理解的，就让我们看看能否推翻这种说法。

温度的最简单定义

温度应该是这样的一个量，能量总是会从高温的地方流向低温的地方。当两个物体进行热接触时，如果没有发生能量流动，便即是两个物体处于相同温度。这就是温度的最基本定义。 可惜，这个定义没有太大用处。要理解温度的意义，需更详细研究能量和统计理论。

温度与能量之间的紧密联系

2019年出版的《国际单位制手册》第九版指出：「 波兹曼常数k是对应温度（单位：开尔文）和能量（单位：焦耳）的量之间的换算系数，…… 」 「一个系统的温度与热能成比例关系，但对系统的内部能量却并不一定有此必然关系。」 显然，温度与能量密切相关。究竟两者之间的关系为何？

温度只是能量的别称吗？

假设有一个气体样本，其质量等于 m 、能量等于 U 、体积等于 V 、温度等于 T ，而压力等于 P 。如果加入一个相同的样本，合并后的气体样本会有以下属性：质量等于2 m 、能量等于2 U 、体积等于2 V 、温度等于 T ，而压力等于 P 。 气体样本1 气体样本2 合并后的气体样本 质量 = m
能量 = U
体积 = V
温度 = T
压力 = P 质量 = m
能量 = U
体积 = V
温度 = T
压力 = P 质量 = 2 m
能量 = 2 U
体积 = 2 V
温度 = T
压力 = P 然而，当涉及双原子气体、液体和固体时，情况就变得复杂。除平移运动的动能外，这些物质的内部能量形式还包括转动能、振动能和势能。虽然以平均动能来解释温度会较易理解，但这作为定义却未如理想，因此需要一个更严谨和通用的定义。

大多数热物理学教科书如何定义温度？

在大多数热物理学教科书中，温度的定义如下： 从字面上看，温度是熵的改变量除以内部能量的改变量的倒数，而系统的体积和粒子数目则维持于固定值。 为准确表达科学概念，物理科学的教科书常常载有使用微积分符号的数学方程式，例如温度( T )的定义通常以下列方程式表示： 其中 T 是温度、 S 是熵、 U 是系统的内部能量、 V 是体积，而 N 是系统的粒子数目。 即使没有读过微积分，这道方程式也不像看起来般难解。如果把熵( S )与系统的内部能量( U )绘制成图，偏微分 仅为曲线的斜率，而系统的体积( V )和粒子数目( N )维持固定。温度是该斜率的倒数。 这道方程式看似简单，但难处固然在于理解熵的意义。十九世纪的科学家便花了数十年时间才能解读其意义，而这亦是很多人认为温度的物理意义难以理解的主要原因。不过，在统计力学领域的科学家们成功阐明熵的性质至今已逾百年。只要有一点耐心，我们定能理解熵的本质。

甚么是熵？

1877年，路德维希．波兹曼(Ludwig Boltzmann)对熵作出以下定义： 当中 S 是熵、 k 是波兹曼常数， W （ 多重度 ）是系统可及的量子状态的数目。这是热物理学其中一道最著名的方程式，镌刻在波兹曼的墓碑上。 要理解这道方程式，我们需要知道甚么是 宏观状态 和 微观状态 。一个系统的宏观状态是指其宏观性质，例如温度和压力；微观状态则指系统在特定时刻的具体微观排列。 每个宏观状态都存在很多个会演化成相同宏观状态的微观状态，称为宏观状态的多重度。多重度的对数就是熵。 统计力学的基本假设是在处于热平衡的孤立系统中，所有可及的微观状态出现的机率均相等。因此，如有两个宏观状态，其中微观状态数量较多（即多重度较高）的一个宏观状态出现的机率会较高。 同样地，当孤立系统趋向热平衡时，便很可能是处于微观状态数量最多的宏观状态，即最大的熵；当孤立系统远离热平衡时，则很可能会朝着熵较大的宏观状态演化。换言之，熵总是会增加。这就是著名的「热力学第二定律」。 为对多重度这个重要概念有个大概认识，让我们一起看看一个在摄氏23度及1标准气压的0.001立方米氦气的样本：当中由「萨克尔-泰特洛德(Sackur-Tetrode)方程式」计算出来的熵( S )是5.15 JK ^-1 ，微观状态的数目( W )是e ^{3.73x10 23} 。这个数字十分庞大，一般计算机进行运算时会出现溢位。 单原子理想气体 系统的熵可用萨克尔-泰特洛德(Sackur-Tetrode)方程式计算得出。这道方程式约源于1912年，由萨克尔 (Otto Sackur)和泰特洛德 (Hugo Martin Tetrode)各自提出。 N 是原子数目、 V 是系统容量、 m 是原子体积、 U 是系统的内部能量，而 h 是普朗克常数。

熵、温度与能量流动的方向

以下内容结合熵的概念和统计力学的基本假设，解释为何以方程式(3)定义温度会得出能量总是从高温地方流向低温地方的预期结果。以下内容，即使没有学过微积分也能理解。要透彻理解的话要多花一点点功夫，但却饶有裨益。 假设两个系统处于热接触状态，其内部能量分别为 U ₁ 和 U ₂ ，而 w ₁ ( U ₁ )和 w ₂ ( U ₂ )是这两个系统分别可及的微观状态数目。两个系统合并后可及的微观状态总数 w _c ( U ₁ , U ₂ )如下： 我们早前已定义熵( S )为 S = k log w 。在方程式的左右两方取对数。 方程式显示熵属广延量。系统合并后的总能量( U _c )等于 U ₁ + U ₂ 。在孤立的系统中， U _c 是守恒不变的。由于 S _c ( U ₁ , U ₂ ) = S ₁ ( U ₁ ) + S ₂ ( U _c - U ₁ )，因此 S _c ( U ₁ , U ₂ )可以简化为 S _c ( U ₁ ). 图1 两个处于热接触的系统因能量流动而令熵有所改变 当能量Δ U 从系统1流向系统2， U ₁ 便会减少Δ U ，而 U ₂ 会增加Δ U ， S _c ( U ₁ )的数值亦会有所改变。这些数量的关系显示在图1。根据统计力学的基本假设，Δ U 会向 w _c ( U ₁ , U ₂ )和 S _c ( U ₁ )数值增加的方向流动，因此， S _c ( U ₁ )的变化（以Δ S _c ( U ₁ )表示）会大过或等于零。Δ S _c ( U ₁ )可利用以下算式计算： 让我们以 表示 S ₁ ( U ₁ )与 U ₁ 的变率，则 。同样地， 。Δ S _c ( U ₁ )可简化成： 由于Δ S _c ( U ₁ ) ≥ 0，如果Δ U > 0（即能量从系统1流向系统2），我们便会得出： 因此，以熵( S )相对于内部能量( U )变率的倒数来定义温度，与能量总是从高温地方流向低温地方的预期结果是一致的 希望藉此简介，大家可以更加了解温度和熵的物理意义。 以下讨论内容专供懂得微积分的人士阅读。 合并系统的总能量为 U _c = U ₁ + U ₂ 。总能量 U _c 维持不变。当两个系统之间发生能量流动，便可得出d U ₁ = -d U ₂ 。 合并系统的可及微观状态总数可从下列等式得出： 根据统计力学的基本假设， U ₁ 和 U ₂ 数值的转变方向会令 w _c ( U ₁ , U ₂ )倾向增加，即d w _c ≥ 0。 由于d U ₁ = -d U ₂ ，便可得出 使用恒等式 后，便可得出 由于熵为 S = k log w ，便可得出 如果d U ₁ < 0（即能量从系统1流向系统2），便可得出 因此，方程式(3)所界定的温度符合能量从温度较高的系统流向温度较低的系统的预期。

2) 何谓相对湿度？

湿度是气体的水蒸气含量。湿度测量学是一门研究如何准确量度湿度的科学。它会透过不同方式来量化空气中的湿度，例如相对湿度、露点温度，以及水蒸气的摩尔分数或质量分数，当中以相对湿度最为常用。 空气能容纳有限的水蒸气，其最大容量是以饱和水蒸气压 e _w ( t )［单位：千帕斯卡(kPa)］来定义，即图2中以温度 t 为函数改变的饱和线。相对湿度［单位：%RH］就是以饱和水蒸气压的百分比来表示的水蒸气压水平，如图 2中显示的10 %RH和50 %RH相对湿度的水蒸气压线。当水蒸气压达到饱和水蒸气压的水平，相对湿度便会达到100 %RH，而空气中的水蒸气就会凝结成露珠（即水珠）。 图2.在不同温度下的饱和水蒸气压以及在50 %RH和10 %RH情况下的水蒸气压（假设气体处于理想气体的状况）

3) 相对湿度与露点温度的测量

水蒸气的凝结现象，不仅是反映水蒸气压达至饱和的有效指标，还能用于厘定环境的相对湿度。以图3为例，红点是一个低于饱和点 e _w (60 °C)的未知空气水蒸气压。如果把空气的温度逐渐降低，其饱和水蒸气压会随着饱和线下降。假如水蒸气的含量固定不变，水蒸气压在整个冷却过程便会维持不变。当空气的温度降至 t _d ，饱和水蒸气压 e _w ( t _d )会相等于水蒸气压的现有水平，而水气便会在饱和的状态下凝结成露珠。凝结出现时的温度称为露点温度 t _d ，如图3例子中的露点温度为45.8 °C。假设空气处于理想气体的状况下，我们可以运用以下方程式计算空气在60 °C时的相对湿度： 相对湿度 = 图3. 用于估算相对湿度的露点温度

4) 镜面冷凝式露点湿度计

镜面冷凝式露点湿度计是利用凝结现象来准确测量露点温度的仪器。仪器露点温度的测量不确定度通常少于0.1 °C，相当于在室温下的不确定度为0.6 %RH以下。这部仪器包括一面高度抛光的镜片（如图4所示）。镜片温度由一个多层的热电冷却器精准控制，并受一个内置的铂电阻温度计监察。露点湿度计内的光学反馈系统由一个单色光源和数个监察光电探测器组成，用于探测凝结现象并稳定凝结状态。图5(a)的光电探测器1(PD1)负责监察来自镜片的镜面反射光，光电探测器2(PD2)则负责监察散射光线。当镜片温度高于露点温度，来自光源的入射光便会被抛光镜片反射至PD1，而PD2不会接收到任何光学讯号。当镜片温度冷却至露点温度，镜片表面便会凝结出一层露珠（如图5(b)所示），入射光会以不同角度散射，令镜面反射光大幅减少。透过监察PD1和PD2分别接收到的反射光学讯号和散射光学讯号，便能探测水蒸气的凝结程度。该反馈系统随后会微调镜片温度，直至凝结现象达到平衡状态（即露珠既不增加也不蒸发）。最后，由铂电阻温度计在平衡状态下所测量的温度即为露点温度，用以计算相对湿度。 今时今日的智能电话设计精密，配备各式各样的传感器，例如加速度计、陀螺仪、磁强计、光照度计和轻触式萤幕，能够完成很多出色的工程任务。这些细小的机器能够追踪用家举动、监测心跳和预测我们的需要，其中两款最常用于智能电话的传感器是加速度计和陀螺仪。 加速度计用于侦测电话的画面方向，电话会因应摆放的角度从而转换萤幕显示的画面方向，由直向转为横向，或由横向转为直向，为用家提供舒适的观赏体验。举例来说，利用手提电话观看YouTube影片的最佳模式是把电话水平放置，用家以横向模式播放影片，影像不但能填满整个画面，而且更大更清晰。此外，加速度计亦可用作计步器，计算用家行走的步数。多种健康与健身和运动应用程式都会透过分析计步器计算的步数，判断有关动作的频率、强度、持续时间和模式，从而估算用家在运动期间消耗的卡路里，帮助他们记录自己的运动常规以达到个人目标。一些较高端的电话会采用基于感应动作的姿势识别演算法来分析三轴加速度计的输出数据，以提升用家的流动应用程式和游戏体验。 不过，由于加速度计只能量度 线性加速 ，它只可量度设备移动的方向；除非该加速度计同时配备陀螺仪或陀螺仪传感器，否则便不能处理设备在移动期间向左右两侧倾斜的位置。陀螺仪是另一种用于智能电话的方向传感器，用作量度 角旋转速率 。陀螺仪通常会为加速度计收集的资料提供额外的维度，使加速度计能够更准确地判断电话的方向和移动情况。Google Sky Map和Pokemon Go等受欢迎的应用程式均使用陀螺仪数据来改善测量的准确度。 如今，最先进的九轴设备会将三轴陀螺仪、三轴加速度计和三轴指南针结合在同一块晶片上，并加入数位运动处理器，用以实现各种复杂的移动演算法。 图1 iPhone 4内的意法半导体LIS331DLH加速度计和L3G4200D陀螺仪

加速度计的结构

加速度计通常装有电子电路，利用电效应、压电效应、压阻效应或电容效应，探测装置的轻微动作。现今用于智能电话的加速度计属于微机电系统，采用微电子装配技术装配于硅基板上，成品体积极细。应用微机电系统的加速度计装有一个微型的感震质量，连接于局限在固定金属板之间循单一方向移动的弹簧系统。当该特定方向出现加速情况时，感震质量便会移动，而其与金属板之间的电容亦会出现相应变化。电容变化与加速水平成正比，量度电容变化便可判断装置的移动情况。 图2 微机电系统加速度计内含感震质量的电路

陀螺仪的构造

陀螺仪或陀螺仪传感器是根据角动量守恒定律设计而成，用于量度或维持方向和角速。传统的陀螺仪由转轮或转盘等转子和外框组成，即使外框的转动方向有变，转子亦会维持旋转轴的方向不变。 压电加速度计一般是根据国际标准ISO 16063-21的背对背比较法进行校正。这个方法的基本原理是将接受测试的传感器安装在标准加速度计上，然后让两者同时达至相同的加速度。该传感器的灵敏度可从两者的电输出信号之间的比率数值与标准加速度计的灵敏度得出。这个方法简单易用，因而广泛应用于常规的校正或性能检查工作。 参考标准加速度计或高精准度的工作级别加速度计，必须以原级方法进行校正。国际标准ISO 16063-11阐述了加速度计的各种原级校正方法。 方法一（条纹计数法） 用于校正在1 Hz至800 Hz频率范围内的灵敏度幅值； 方法二（极小点法） 用于校正在800 Hz至10 kHz频率范围内的灵敏度幅值； 方法三（正弦逼近法） 用于校正在1 Hz至10 kHz频率范围内的幅值和相位灵敏度。 由于方法三涵盖较广的频率和振幅范围，亦能测量振动信号的振幅和相移，因此被广泛应用于加速度计的原级校正。

标准及校正实验所的原级振动测量系统

下图为标准及校正实验所的振动测量系统的主要仪器。该系统利用电动激振器产生动量。接受校正的加速度计安装在激振器上，而激光振动计则安装于振动隔离地基顶部，并以激光光束对准加速度计周围的位置。该系统以激光干涉法的原理为基础，采用波长为633纳米的红色氦氖激光。干涉仪的正交输出信号及压电加速度计经滤波和放大的电信号，会被数位示波器同时取样，然后透过采用正弦逼近法的软件处理相关的数码资料，以计算出加速度计的复数灵敏度。 图7 标准及校正实验所的振动测量系统

利用激光干涉仪进行原级振动校正的操作原理

根据国际标准ISO 16063-11所载的方法三，可利用光学干涉法把机械位移、速度和加速度溯源至激光的波长。图8是使用零差技术的改良版迈克生干涉仪的光学原理图，所用激光是波长为633纳米的稳频氦氖红光。 图8 改良版迈克生干涉仪的原理图 经偏振的激光光束通过λ/4波片后，变成圆形偏振光。非偏振分光镜(BS1)把该入射光束分成两道强度相等的正交光束。参照光束经偏振后射向一面固定的镜子。圆形偏振的测量光束从一个移动物体的表面反射并回到BS1。参照光束和测量光束通过λ/2波片，该波片作调整后可令偏振分光镜(BS2)产生光干涉，从而形成两道分别对应于同相(I)和正交(Q)分量的两个光束。光电探测器( V ₁ )和( V ₂ )的输出电压, 代表I和Q的数值. 按照下一节的计算方法, 可准确算出移动物体的位置. 加上采样的时间, 就可算出移动物体的速度及加速度。 图9 光电探测器( V ₁ )和( V ₂ )的输出电压

正弦逼近法的计算方法

此一节比较适合对数学有兴趣的读者。 光电探测器( V ₁ )和( V ₂ )的输出电压, 在去除直流分量后， 会按下列方程式，随两道光束之间的调制相位差 &straightphi; _mod 而变化。 测量光束是从移动物体散射回来的，参照光束和测量光束之间的光程差 L ( t )是时间的函数。设定 s ( t )为该移动物体的位移，而∅ _s 为起始位移相位。 光电探测器和加速度计的输出会同步取样。国际标准ISO 16063-11所界定的正弦逼近法，可用作于数值正反切解调。假设 ，并以特定算法将相位展开，以避免因正反切函数的含糊性而出现不连续性。 通过测量， 收集了n个不同调制相位差的数据。通过使用最小平方法求解n个方程，可以估算出A，B和C三个未知参数的数值。 以矩阵形式表示： 设定 &straightepsilon; 为误差向量 &straightepsilon;&straightepsilon; ^T 为平方误差 为了把平方误差减至最小，设定有关 β 的期望值导数为零，即 。 β 是 的最佳估计值。 调制位移幅度为 起始位移相位为 假设正弦振动频率为 ƒ 、加速度值为 a ，而起始加速相位为∅ _a 从加速度计同时取样的一连串输出数值 u ( t _i )，亦可运用正弦逼近法以同样方式得出其约数 加速度计的输出振幅为 加速度计的起始输出相位为 复数灵敏度的模数为 S _a ，而加速度计的相移为Δ∅ 图10显示了计算的不同阶段的数据。 图10 计算的不同阶段的数据。 参考资料：
[1] ISO 16063-11:1999, “Methods for the calibration of vibration and shock transducers - Part 11: Primary vibration calibration by laser interferometry”
[2] ISO 16063-41:2011 “Methods for the calibration of vibration and shock transducers Part 41: Calibration of laser vibrometers”
[3] Primary vibration calibration with CS18P using laser vibrometer technology Holger Nicklich, Ume Buehn, SPEKTRA GmbH Dresden, Germany
[4] Realization and Results of a DKD Interlaboratory Comparison Regarding the Measurand Acceleration Dr. Thomas Bruns, Philipp Begoff, Michael Mende XX IMEKO World Congress Metrology for Green Growth September 9-14, 2012, Busan, Republic of Korea
[5] https://www.memsjournal.com/2010/12/motion-sensing-in-the-iphone-4-mems-accelerometer.html
[6] https://www.polytec.com/us/vibrometry/technology/
[7] HowToMechatronics.com