计量经济学第四次笔记（工具变量）

工具变量，刚刚开始学起来感觉是一个比较抽象的概念，好吧，可能计量整个学起来就是属于比较抽象的，因此试图以自己的方式来把工具变量说的尽量清楚一些。

什么是工具变量

首先，要明确工具变量本质上是来解决 内生性问题 的，比如：研究一个人的工资水平wage由什么决定，我们提出由：性别male,年龄age，智商IQ三个因素决定，因此，我们有:

wage=\beta_0 +\beta_1age+\beta_2male+\beta_3IQ+u

但是这里有一个问题，即：IQ由于存在测量误差，因此和u相关，这会导致IQ的估计系数 \beta_3 有偏，如下图所示（估计出来的 \hat{\beta_3} 一部分是 IQ 变化对 wage 的影响，另一部分则是u导致的 IQ 变化进而导致的 wage 变化）：

因此我们需要来解决这个问题。如何解决呢？可以使用工具变量来解决。假设工具变量是父母的受教育程度z，那么我们首先以图解的形式来看看z的作用到底是什么？

z的作用本质上就是z变化引起x变化进而引起y变化（z和x相关，父母的受教育程度和孩子的IQ相关，这个设定是合理的），这个作用纯粹是x对y的影响（受教育程度z和孩子工资不直接相关，因此z不会对y产生直接影响， z 对 y 产生的影响都是通过 x 产生的），没有包含 u ，因为 z 和 u 不相关（这也是工具变量的一个要求），所以这样就可以把 IQ 的系数 \beta_3 无偏地估计出来。

内生性问题产生的原因：

1、遗漏和解释变量相关的重要变量

2、测量误差

3、互为因果（x影响y，y也影响x）

如果产生了内生性问题，却不去解决，继续使用OLS估计，就是使得解释变量的系数估计值有偏且不一致。

工具变量如何使用

关于工具变量的使用可以分为以下几种情况：

1、简单回归，一个内生解释变量，一个工具变量，无其他解释变量：直接计算协方差即可

2、多元回归，一个内生解释变量，一个工具变量，多个外生解释变量：结构方程联立求解，其实也就是联立方程组求解

3、模型中只有一个内生解释变量，但是该内生变量有两个或者多个工具变量，无法取舍，并且也想充分利用两个工具变量包含的信息：2SLS, 两阶段最小二乘法

4、模型中有很多内生解释变量：判断阶条件，即：工具变量个数一定要大于内生变量个数（对于每一个内生变量来说），然后和3一样，使用两阶段最小二乘法即可。

两阶段最小二乘法：

第一阶段： 判断工具变量是否有效，因为你不能随便找一个变量就说他是工具变量，这里主要是判断是否是好的工具变量（即工具变量和内生解释变量之间的相关性，得强相关才行，如果弱相关就会出现问题），所以第一步就是用 内生解释变量 对 工具变量和模型中的其他变量 做回归，其实也就是把原来的wage换成了IQ。

IQ=\beta_0 +\beta_1age+\beta_2male+\alpha z+\epsilon

第二阶段： 用第一步中拟合的 \hat{IQ} 代入到原来的模型中，因为此时的 \hat{IQ} 是纯净的,和 u 不相关，（想想为什么？ \hat{IQ} 是由工具变量和其他外生变量决定的，工具变量和其他外生变量和u都不相关，所以 \hat{IQ} 和 u 也不相关 ），这个时候再进行回归，得出的 IQ 的估计值 \hat\beta_3 的估计值就无偏的。

一些需要注意的问题：

是否有内生性问题：

如果没有内生性问题，那么OLS更加合适（因为OLS估计量的方差更小），通过一元线性回归查看基本直觉。

根据工具变量的性质，有：

E(u)=0;Cov(z,u)=0;Cov(z,x)\neq 0

易得：

Cov(z,y)=\beta_1Cov(z,x)+Cov(z,u)

即：

\hat{\beta}_1^{IV}=\frac{Cov(z,y)}{Cov(z,x)}=\frac{\sum (z_i-\bar{z})(y_i-\bar{y})}{ \sum (z_i-\bar{z})(x_i-\bar{x}) }

展开可知：

plim\hat{\beta}_1^{IV}=\beta_1+\frac{\sum (z_i-\bar{z})(u_i-\bar{u})/n}{ \sum (z_i-\bar{z})(x_i-\bar{x}) /n }=\beta_1 ，IV估计量是一致估计量

而传统的OLS估计为：

\hat{\beta}_1^{OLS}=\frac{Cov(x,y)}{Cov(x,x)}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{ \sum (x_i-\bar{x})(x_i-\bar{x}) }

展开可知：

plim\hat{\beta}_1^{IV}=\beta_1+\frac{\sum (x_i-\bar{x})(u_i-\bar{u})/n}{ \sum (x_i-\bar{x})(x_i-\bar{x}) /n } ，由于此时 x 存在内生性，因此 Cov(x,u)\neq 0 。因此OLS估计量不是一致估计量

容易得到，两种估计量的方差分别为：

Var(\hat{\beta}_1^{OLS})=\frac{\sigma^2}{\sum (x_i-\bar{x})^2}=\frac{\sigma^2}{n\sigma_x^2}

Var(\hat{\beta}_1^{IV})=\frac{\sum (z_i-\bar{z})^2\sigma^2}{ [ \sum (x_i-\bar{x})(x_i-\bar{x}) ]^2 }=\frac{\sigma^2}{n\sigma_x^2\rho_{x,z}^2}

由于 0<\rho_{x,z}^2<1 ，因此工具变量的方差会更大，特别是如果 x 和 z 几乎不相关的时候，其方差会大的离谱。因此，弱工具变量问题可能会使得估计量有效性非常低！

如何检验是否存在内生性问题：

由上述两种估计方式的表达式可见，如果没有内生性问题，那么两种估计方式系数一直，但OLS估计量更为有效——方差更小。反之，如果有内生性问题，那么IV估计量是一致的。可以通过下面的检验判断是否需要工具变量：

检验方法1：

使用Hausman test，Hausman test的原假设是：所有解释变量均为外生变量，然后比较iv估计值和ols估计值和的差异，如果很大，说明存在内生性问题，如果比较小，则不存在。

但是不能够过度依赖Hausman test,也就是说即使Hausman test结果表明内生性问题不显著，一般情况下也还是需要讨论内生性问题，或者从理论机制、经济学常识说明为什么不会产生内生性问题。

并且，传统的Hausman test不适用于异方差情形，因此可以做如下形式的检验——注意，这里的标准误都需要使用 异方差稳健 的标准误：

检验方法2：

1、首先把疑似内生变量 y_2 对所有外生变量和工具变量做回归，得到残差 \hat{v_2} ,即：

y_2=\beta_0+\beta_1z_1+\beta_2z_2+\beta_3z_3+\beta_2z_4+v_2

2、在原始方程（可能存在内生性问题的方程）中加入 \hat{v_2} ，因为我们假设 Cov(y_2,u)\neq 0 ，但是显然外生变量和工具变量都不和 u 相关，只能是 Cov(u_2,v)\neq 0 ,假设 u=\beta_6v_2+e ，带入原始回归方程：

y_1=\beta_0+\beta_1z_1+\beta_2z_2+\beta_3z_3+\beta_2z_4+\beta_5y_2+\beta_6\hat{v_2}+e

3、检验 H_0:\beta_6=0 ,如果拒绝原假设则 y_2 是内生变量——因为它和 u 相关

_______________________________________________________________________________________

弱工具变量 ，如果工具变量和内生变量相关性很小，根据我们上述估计量方差的表达式，可以发现此时方差会很大，这就会出问题。

解决方式：1、寻找更好的工具变量 2、使用LIML，有限信息极大似然估计法。

过度识别检验：

工具变量也可能和u相关，导致工具变量法会产生误差，所以需要检验工具变量是否严格外生，但是这在恰好识别的时候无法做到，只有工具变量个数大于内生变量个数时才能使用过度识别检验。

工具变量和代理变量的区别： 一个必须直接影响因变量wage，另一个则不能直接影响因变量wage。比如：IQ是能力的一个很好的代理变量，但是它却不是能力的一个很好的工具变量。

处理测量误差：

由于解释变量测量误差问题引起的内生性问题，如果我们有两次测量，那么就可以解决这个内生性问题，但是如果我们只有一次测量，则无法解决内生性问题。

工具变量结果外推性 ：工具变量是LATE（局部平均处理效应，研究结论是否可以外推需要依赖于具体问题）