大椭圆椭球参数模型在长线工程中的应用

Application of Large Ellipsoid Parameter Model in Long Linear Engineering

武汉大学学报·信息科学版, 2020, 45(2): 219-225, 232

Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2020, 45(2): 219-225, 232

http://dx.doi.org/10.13203/j.whugis20180133

1. 陕西交通职业技术学院, 陕西 西安, 710018;
2. 中铁第一勘察设计院集团有限公司, 陕西 西安, 710043 ;
3. 甘肃铁道综合工程勘察院有限公司, 甘肃 兰州, 730015 ;
4. 海军工程大学导航工程系, 湖北 武汉, 430033 收稿日期：2019-08-17 摘要 ：针对长线工程中横轴椭圆柱等角投影在设计工程平面施工图时需要频繁分带和精度较低的问题，提出了以线路走向的椭球大椭圆线为新的中央子午线进行投影的大椭圆线椭球高斯投影，并研究大椭圆线椭球的参数理论模型。首先，推导了以归化纬度代替大地纬度为参数的子午线弧长公式；其次，根据二次曲线不变量理论、线性代数、微积分等知识推导出以平面方程系数为参数的大椭圆椭球基本几何参数的计算模型；然后，推导出基础椭球与大椭圆椭球之间大地坐标的直接转换模型；最后，以某一实际工程资料为基础，验证了推导的理论模型的正确性和优越性，以便在长线工程中普及应用。 Application of Large Ellipsoid Parameter Model in Long Linear Engineering 1. Shanxi College of Communication Technology, Xi'an 710018, China;
2. China Railway First Survey and Design Institute Group Co. Ltd, Xi'an 710043, China ;
3. General Engineering Survey Institute of Railways of Gansu, Lanzhou 730015, China ;
4. Department of Navigation, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China Abstract : Aiming at the problem that Gauss projection in the line engineering project needs to be frequently strapped and has low precision when designing the plane construction drawing of the project, this paper proposes a large elliptical Gaussian projection of an elliptical line projecting from the ellipsoid elliptical line of the route for the new central meridian, and analyzes the parametric theoretical model of the elliptic ellipsoid. Firstly, it derives the meridian arc length formula by using the naturalized latitude instead of the geodetic latitude as a parameter. Secondly, according to the quadratic curve invariant theory, linear algebra, calculus and other knowledge, it deduces the model of solving the basic geometric parameters of the large ellipse ellipsoid with the plane equation coefficient as the parameter. Furthermore, a direct conversion model of the geodetic coordinates between the base ellipsoid and the large ellipse ellipsoid is deduced. Finally, based on some actual engineering data, the correctness and superiority of the theoretical model deduced in this paper are verified to be popularized in long-term projects.

目前，在高速铁路、高速公路等长线工程中处理控制网数据都是采用横轴椭圆柱等角投影(即高斯投影)。这种投影方式是以国家规定的6°带或3°带经线为中央子午线进行高斯正形投影，其对于正南正北走向的线路切合度很高，能够非常有效地控制长度投影变形，但对于非正南正北走向且跨度较长的线路，则会出现长度变形超限、分带过于频繁、换带计算繁琐等问题。针对这些问题，文献[ 1 - 7 ]给出了斜轴圆柱投影的方法，这种方法在一定程度上解决了频繁换带、精度不高的问题，但以圆球代替椭球，线路长度比较受限。文献[ 8 - 11 ]提出了法截面子午线椭球高斯投影，这种方法不仅有效解决了高斯投影频繁换带、精度不高的问题，还使线路长度大幅度扩展，是地图投影领域发展的突破性成果，但法截线椭球的理论模型较为复杂。文献[ 12 - 19 ]的斜轴变形椭球高斯投影是一种很有创新性的方法，但要经过繁琐的空间坐标转换。鉴于此，本文在已有研究的基础上，提出了大椭圆线椭球参数理论模型，此方法建立起基础椭球与大椭圆椭球大地坐标之间的直接关系，不仅解决了高斯投影频繁换带、精度不高的问题，而且避免了各坐标系之间的转换，便于编程语言的实现。

1 大椭圆椭球概念模型的构建

如 图 1 所示，首先，在基础椭球上找出距离线路整体走向各个控制点最近的拟合直线或线路的设计中线；然后，作出这条直线过原点的大椭圆线(即 $ QMQ\prime $ )， $ OQ\prime $ 为大椭圆椭球的短半轴， $OM $ 为大椭圆椭球的长半轴，将该大椭圆绕短半轴 $ OQ\prime $ 旋转即可得到大椭圆椭球 E ₁ ；最后，以过原点的大椭圆线(即 $ QMQ\prime $ )为大椭圆椭球的中央子午线进行高斯投影。 图 1 中， $ OC$ 、 $OE $ 、 $ ON$ 分别为基础椭球的 $ X$ 、 $Y $ 、 $ Z$ 轴， $ OM$ 、 $OU $ 、 $ OQ\prime $ 分别为大椭圆椭球的 X ₁ 、 Y ₁ 、 Z ₁ 轴。

在成功构建大椭圆椭球模型后，接下来关键就是根据相关理论知识推导出大椭圆椭球的基本几何参数、大地坐标等实体计算模型。

2 大椭圆椭球参数模型的推导 2.1 大椭圆椭球基本几何参数计算模型

在空间直角坐标系下，任意线路与基础椭球( E ₀ )的交线所在的平面方程 ^{[ 20 ]} 为：

AX+BY+CZ+D=0

式中， $ A$ 、 $B $ 、 $ C$ 、 $D $ 为平面方程的系数，且 $ {A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}=1 $ ； $ D$ 为原点到平面的距离，因该平面是一个过原点的平面，所以 $ D=0 $ 。则方程变为：

AX+BY+CZ=0\Rightarrow Z=-\frac{A}{C}X-\frac{B}{C}Y

由大地测量学的椭球理论可知基础椭球( E ₀ )的方程为 ^{[ 21 - 22 ]} ：

\frac{{X}^{2}+{Y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{Z}^{2}}{{b}^{2}}=1

式中， $a $ 为椭球长半轴； $ b $ 为椭球短半轴。

设 $ e $ 为椭球离心率，结合 $ b=a\sqrt{1-{e}^{2}} $ ，可得基础椭球的方程为：

(1-{e}^{2}){X}^{2}+(1-{e}^{2}){Y}^{2}+{Z}^{2}={a}^{2}(1-{e}^{2})

将式(2)代入式(4)可得：

\begin{array}{c}\left[\right(1-{e}^{2}){C}^{2}+{A}^{2}]{X}^{2}+\left[\right(1-{e}^{2}){C}^{2}+{B}^{2}]{Y}^{2}+\\ 2ABXY-{a}^{2}{C}^{2}(1-{e}^{2})=0\end{array}

式(5)是一个关于 $X $ 和 $Y $ 的二元二次方程，其几何意义为线路所在平面与基础椭球的交线在空间坐标系 $ XY $ 平面上的投影。方程的系数矩阵为：

\begin{array}{l}\mathit{R}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a}_{13}\\ {a}_{21}& {a}_{22}& {a}_{23}\\ {a}_{31}& {a}_{32}& {a}_{33}\end{array}\right]=\\ \left[\begin{array}{ccc}(1-{e}^{2}){C}^{2}+{A}^{2}& AB& 0\\ AB& (1-{e}^{2}){C}^{2}+{B}^{2}& 0\\ 0& 0& -{a}^{2}{C}^{2}(1-{e}^{2})\end{array}\right]\end{array}

由解析几何曲线理论可推得该二次曲线的3个不变量( $ {I}_{1}$ 、 $ {I}_{2}$ 、 $ {I}_{3} $ )和1个半不变量( $ {K}_{1} $ )分别为 ^{[ 17 ]} ：

{I}_{1}=(1-{e}^{2}){C}^{2}+(1-{e}^{2}{C}^{2}) {K}_{1}=-{a}^{2}{C}^{2}(1-{e}^{2})\left[\right(1-{e}^{2}){C}^{2}+(1-{e}^{2}{C}^{2}\left)\right]

根据解析几何的二次曲线不变量理论可知, 不变量 $ {I}_{2}$ 对二次曲线的形状起着决定作用。当 $ {I}_{2}>0$ 时，曲线为椭圆型；当 $ {I}_{2}=0 $ 时，为抛物型；当 $ {I}_{2} <0$ 时，为双曲型。又 $ {I}_{1}{I}_{3} <0 $ ，所以可判断出该二次曲线为椭圆 ^{[ 20 ]} ，即基础椭球上任意线路所构成的闭合曲线在空间坐标系 $ XY $ 面的投影是一个椭圆。同理，消去参数 $ X$ 或 $ Y $ ，线路在 $YZ $ 、 $XZ $ 平面的投影也是一个椭圆。因此，可知任意线路所在的平面(该平面过基础椭球原点)与基础椭球相交的曲线是一个椭圆，其切割基础椭球所得的椭圆面称之为大椭圆面。

根据解析几何曲线理论，可得二次曲线的特征方程为：

{\lambda }^{2}-{I}_{1}\lambda +{I}_{2}=0

式中， λ 为特征值。由此解得二次曲线的特征值为：

{\lambda }_{1}=(1-{e}^{2}){C}^{2}, \mathrm{ }\mathrm{ }{\lambda }_{2}=1-{e}^{2}{C}^{2}

因二次曲线为中心曲线，所以其简化方程为：

{\lambda }_{1}{X}^{2}+{\lambda }_{2}{Y}^{2}+\frac{{I}_{3}}{{I}_{2}}=0

将式(7)、式(8)以及方程的特征值代入式(11)，可得椭圆方程的标准形式为：

\frac{{X}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{Y}^{2}}{\frac{{a}^{2}{C}^{2}(1-{e}^{2})}{1-{e}^{2}{C}^{2}}}=1

由式(12)可知，该交线在 $XY $ 坐标系下的投影椭圆的长、短半径分别为：

{{a}_{1}}^{\prime }={a}_{1}=a, \mathrm{ }{{b}_{1}}^{\prime }=aC\sqrt{\frac{1-{e}^{2}}{1-{e}^{2}{C}^{2}}}

根据椭球大地测量学和解析几何二次曲线理论可知，系数 $ C $ 的几何意义为大椭圆面与基础椭球赤道面的夹角余弦，由大椭圆面的方程系数和基础椭球赤道面的方程系数求得二者的夹角余弦为：

\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{0\times A+0\times B+1\times C}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}+{C}^{2}}}=C

所以将 $ XY $ 坐标系下赤道面上的投影椭圆转换到大椭圆面上的短半径为：

{b}_{1}=\frac{{{b}_{1}}^{\prime }}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }=\frac{{{b}_{1}}^{\prime }}{C}=a\sqrt{\frac{1-{e}^{2}}{1-{e}^{2}{C}^{2}}}

综上所述，大椭圆椭球的基本几何参数如下：

长半径： $ {a}_{1}=a$

短半径： $ {b}_{1}=a\sqrt{\frac{1-{e}^{2}}{1-{e}^{2}{C}^{2}}}

第一偏心率： $ {e}_{1}^{2}=\frac{{a}_{1}^{2}-{b}_{1}^{2}}{{a}_{1}^{2}}=\frac{1-{C}^{2}}{1-{e}^{2}{C}^{2}}{e}^{2}

从大椭圆椭球的基本几何参数计算公式可以看出，平面方程的系数是求解大椭圆线椭球基本几何参数的关键所在。本文根据文献[ 8 - 11 ]提出的“五步法”求得的平面方程系数和大地纬度之间的关系式，将球心纬度( $ {\mathit{\Phi} }_{0} $ )类比于大地纬度，推导出线路基准点的球心纬度、大地经度( $ {L}_{0} $ )和线路方位角( $ \beta $ )与平面方程系数之间的关系式为：

\left\{\begin{array}{l}A=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\Phi} }_{0}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{L}_{0}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{L}_{0}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \\ B=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\Phi} }_{0}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{L}_{0}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta +\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{L}_{0}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta \\ C=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\Phi} }_{0}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta \\ D=0\end{array}\right.

已知线路上两点 $ {P}_{1}\left({\mathit{\Phi} }_{1}, {L}_{1}\right)$ 和 $ {P}_{2}\left({\mathit{\Phi} }_{2}, {L}_{2}\right) $ ，且两点满足上述方程。 $ \beta $ 为该线路的方位角，则根据两点的经纬度求得线路的方位角为：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\beta =\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({L}_{2}-{L}_{1}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\mathit{\Phi} }_{1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({L}_{2}-{L}_{1}\right)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\mathit{\Phi} }_{1}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{\mathit{\Phi} }_{2}}

再通过式(14)便可求出平面方程系数。

2.2 大椭圆线的参数方程

由基础椭球空间直角坐标推导大椭圆椭球空间直角坐标为正向转换模型，反之为逆向转换模型。不论是正向转换还是逆向转换，都要经过平移、3次旋转、平移5个步骤，其核心是3次旋转矩阵相乘得到的正交转换矩阵。

1) 逆向转换模型

大椭圆线椭球( E ₁ )向基础椭球( E ₀ )转换的空间直角坐标公式为：

{\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_{{E}_{0}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{B}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& A& \frac{-AC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}\\ \frac{-A}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& B& \frac{-BC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}\\ 0& C& \sqrt{1-{C}^{2}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{X}_{1}\\ {Y}_{1}\\ {Z}_{1}\end{array}\right]}_{{E}_{1}}

记大椭圆的归化纬度为 $ t$ , 当点落在大椭圆上时，则以归化纬度为参数的方程为：

{\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_{{E}_{0}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{B}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& A& \frac{-AC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}\\ \frac{-A}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& B& \frac{-BC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}\\ 0& C& \sqrt{1-{C}^{2}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{a}_{1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}t\\ 0\\ {b}_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t\end{array}\right]}_{{E}_{1}}

2) 正向转换模型

记逆向转换模型中的系数矩阵为 $ \mathit{\boldsymbol{R}} $ ，则 $ \mathit{\boldsymbol{R}} $ 为：

\mathit{\boldsymbol{R}}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{B}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& A& \frac{-AC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}\\ \frac{-A}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& B& \frac{-BC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}\\ 0& C& \sqrt{1-{C}^{2}}\end{array}\right]

因为矩阵 $ \mathit{\boldsymbol{R}}$ 是正交矩阵，根据线性代数中的矩阵理论可知，正交矩阵的逆矩阵与转置矩阵是相等的，即 $ {\mathit{\boldsymbol{R}}}^{\mathrm{T}}={\mathit{\boldsymbol{R}}}^{-1}$ ，则基础椭球( E ₀ )向大椭圆椭球( E ₁ )转换的空间直角坐标公式为：

\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{c}{X}_{1}\\ {Y}_{1}\\ {Z}_{1}\end{array}\right]}_{{E}_{1}}={\mathit{\boldsymbol{R}}}^{-1}{\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_{{E}_{0}}=\\ \left[\begin{array}{ccc}\frac{B}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& \frac{-A}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& 0\\ A& B& C\\ \frac{-AC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& \frac{-BC}{\sqrt{1-{C}^{2}}}& \sqrt{1-{C}^{2}}\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right]}_{{E}_{0}}\end{array} 2.3 大椭圆椭球的大地坐标

1) 大椭圆椭球的大地纬度

将式(19)变形并整理得：

\begin{array}{c}\left(1-{e}^{2}\right)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}B=\frac{\sqrt{1-{C}^{2}}{b}_{1}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}t}{\sqrt{{a}_{1}^{2}\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{2}t+{C}^{2}{b}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}t}}=\\ \frac{\sqrt{1-{C}^{2}}{b}_{1}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}t}{\sqrt{{a}_{1}^{2}+{C}^{2}{b}_{1}^{2}\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}t}}\end{array}

式(20)经逆推导可得大椭圆椭球归化纬度与基础椭球大地纬度的关系式为：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}t=\frac{\sqrt{1-{e}_{1}^{2}}\left(1-{e}^{2}\right)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}B}{\sqrt{1-\left[1+{\left(1-{e}^{2}\right)}^{2}\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}B\right]{C}^{2}}}

根据大地纬度和归化纬度之间的关系 ^{[ 22 ]} 得出大椭圆线椭球大地纬度与基础椭球大地纬度之间的关系如下：

{B}_{1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{\left(1-{e}^{2}\right)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}B}{\sqrt{1-\left[1+{\left(1-{e}^{2}\right)}^{2}\mathrm{t}\mathrm{a}{\mathrm{n}}^{2}B\right]{C}^{2}}}

2) 大椭圆线椭球的大地经度

将式(19)变形并整理得：

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{L}_{1}=\sqrt{1-{C}^{2}}\frac{A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}L+B\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}L+C\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathit{\Phi} }{B\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}L-A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}L}

所以大椭圆大地经度的计算公式为：

{L}_{1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\sqrt{1-{C}^{2}}\frac{A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}L+B\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}L+C\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathit{\Phi} }{B\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}L-A\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}L}

式中， $ \mathit{\Phi} $ 为基础椭球的球心纬度，可根据大地纬度与球心纬度的关系求出 ^{[ 21 - 22 ]} 。

3) 大椭圆椭球的大地高

在已知大地纬度 $ {B}_{1}$ 的情况下，大地高的计算公式为：

{H}_{1}=\frac{{Z}_{1}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{B}_{1}}-{N}_{1}\left(1-{e}_{1}^{2}\right)

将式(19)第3项代入式(25)得：

\begin{array}{c}{H}_{1}=\frac{-CN\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}B\left(A\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}L+B\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}L\right)}{\sqrt{1-{C}^{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{B}_{1}}+\\ \frac{\sqrt{1-{C}^{2}}N\left(1-{e}^{2}\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}B}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{B}_{1}}-{N}_{1}\left(1-{e}_{1}^{2}\right)\end{array}

式中， $ N$ 为基础椭球卯酉圈曲率半径； $ {N}_{1}$ 为大椭圆椭球卯酉圈曲率半径。

式(22)、式(24)、式(26)就是基础椭球与大椭圆椭球之间大地坐标的直接转换模型。此模型不需要再进行坐标转换，只需要知道点在基础椭球的大地坐标，就能求出大椭圆椭球的大地坐标，简单易行。

3 大椭圆椭球变形法变换模型

由于投影过程中长度的变形来自两方面，一是高斯投影引起的长度变形，二是高程归化改正引起的长度变形 ^{[ 21 ]} 。为了减小高程归化改正引起的长度变形，需要结合椭球变形法模拟一个高程抵偿面，因此需要推导大椭圆椭球变形后的几何参数计算式。

1) 变形大椭圆椭球( E ₂ )的几何参数计算公式为：

\left\{\begin{array}{l}{a}_{2}={a}_{1}+{d}_{a}=a+\frac{2-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}}{2\sqrt{1-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}}}\mathrm{\Delta }h\\ {e}_{2}^{2}={e}_{1}^{2}+{d}_{{e}^{2}}={e}_{1}^{2}+\frac{{e}_{1}^{2}\sqrt{1-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}}}{a}\mathrm{\Delta }h\end{array}\right.

式中， $ {d}_{a}$ 为椭球长半轴变化量； $ {d}_{{e}^{2}}$ 椭球偏心率变化量； $ \mathrm{\Delta }h $ 为基准点在法线方向的高度变化量。

在推导基础椭球与大椭圆椭球之间的转换模型时，共有两个步骤：(1)基础椭球 E ₀ 向大椭圆线椭球 E ₁ 变换，转换过程中线路控制点的大地坐标发生变化。(2)大椭圆线椭球 E ₁ 向变形大椭圆椭球 E ₂ (即改变大椭圆椭球的扁率后所得的椭球模型)变换。

2) 线路基准点的大地坐标为：

\begin{array}{c}{\left[\begin{array}{c}{B}_{0}\\ {L}_{0}\\ {H}_{0}\end{array}\right]}_{{E}_{2}}={\left[\begin{array}{c}{B}_{0}\\ {L}_{0}\\ {H}_{0}\end{array}\right]}_{{E}_{1}}+\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}{B}_{0}\\ \mathrm{d}{L}_{0}\\ \mathrm{d}{H}_{0}\end{array}\right]=\\ {\left[\begin{array}{c}{B}_{0}\\ {L}_{0}\\ {H}_{0}\end{array}\right]}_{{E}_{1}}+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\mathrm{\Delta }h\mathrm{ }=\left[\begin{array}{c}{B}_{0}\\ {L}_{0}\\ {H}_{0}+\mathrm{\Delta }h\end{array}\right]\end{array}

从式(28)可以看出，大椭圆线椭球 E ₁ 向变形大椭圆椭球 E ₂ 变换时，椭球的长半轴( $ a$ )、离心率( $e $ )均发生变化。线路基准点的大地经纬度不变；大地高发生变化，变化量等于变形椭球面与大椭圆椭球面之间的垂向距离。

3) 控制点的大地坐标变化量为：

\left[\begin{array}{c}\mathrm{d}B\\ \mathrm{d}L\\ \mathrm{d}H\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{B}_{1}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{B}_{1}\left(2-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}\right)\left(1+\sqrt{1-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}}\right)}{2a\left(1-{e}_{1}^{2}\right)+2H\left(1-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}\right)\sqrt{1-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}}}\\ 0\\ \frac{{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}\left(1+\sqrt{1-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}}\right)-2}{2\sqrt{1-{e}_{1}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{2}{B}_{1}}}\end{array}\right]\mathrm{\Delta }h 4 工程实例分析比较

某在建铁路部分线路的地理位置位于北纬 $ {34}^{\circ }20\prime $ ~ $ {38}^{\circ }00\prime $ ，东经 $ {106}^{\circ }00\prime $ ~ $ {109}^{\circ }00\prime $ 。铁路的最大海拔高为1 572.65 m，最小海拔高为374.91 m，平均海拔高为1 110.52 m。平面基准采用北京54坐标系，高程基准采用1985国家高程基准。根据《新建铁路工程测量规范》的要求，边长的投影变形限差不大于25 mm/km。

4.1 数据解算

本文不再阐述横轴高斯投影法和法截线高斯投影法的解算过程，主要介绍大椭圆椭球高斯投影的解算过程，步骤如下：

1) 根据上文已推导的计算模型，求得大椭圆椭球的基本几何参数值为：

{a}_{1}=6\mathrm{ }378\mathrm{ }245\mathrm{ }\mathrm{m}, {b}_{1}=6\mathrm{ }359\mathrm{ }517.786\mathrm{ }\mathrm{m}\\ {e}_{1}^{2}=0.005\mathrm{ }863\mathrm{ }595

2) 线路基准点的经纬度值和线路方位角信息见 表 1 。

表 1 位置基准点数据和线路方位角信息 Tab. 1 Position Data of the Reference Point and Information of Line Azimuth

1) 高斯平面横坐标值( y )的比较

从 图 2 可以看出，大椭圆椭球高斯投影和法截线高斯投影后的 y 坐标值相对较小，绝对值的最大值控制在50 km以内，但横轴高斯投影 y 坐标绝对值的最大值超过了150 km。 y 坐标值的大小会直接影响高斯投影长度变形值的精度，其值越大，越容易使投影后的长度变形超限。

2) 高斯投影长度变形比较

从 图 3 可以看出，用横轴高斯投影法处理数据时，其长度投影变形的最大值接近350 mm/km，严重超限，只有部分区域的长度投影变形值控制在限差(25 mm/km)范围之内。而大椭圆椭球高斯投影和法截线高斯投影的长度变形值的最大值不超过11 mm/km，满足规范要求的最大限差范围。

5 结语

本文以解析几何曲线理论、幂级数、微积分以及大地测量相关理论为基础，推导了大椭圆椭球参数模型，有效避免了投影时繁琐的坐标转换计算和分带计算，并通过某一铁路的工程数据验证了本文理论的正确性。从大椭圆法解算线路控制点的数据结果可以看出，在距大椭圆椭球中央子午线左、右约100 km范围内，整条线路只需一个投影带，不需要繁琐的分带计算，其高斯投影的长度变形完全控制在限差(25 mm/km)之内。与需要分带的横轴高斯投影相比，其优越性不言而喻。此外，本文的另一特色就是建立了大椭圆椭球经纬度与基础椭球经纬度之间的函数关系式，计算较为简便，在很大程度上提高了数据处理的效率，以便在长线工程中普及，有一定的工程应用价值。

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