function gcd(a,b:integer):integer;
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd (b,a mod b);
2．求两数的最小公倍数
function lcm(a,b:integer):integer;
var t:integer;
begin
if a<b then begin
t:=a;a:=b;b:=t;
lcm:=a;
while lcm mod b>0 do inc(lcm,a);
3．素数的求法 A.小范围内判断一个数是否为质数：
function prime (n: integer): Boolean;
var I: integer;
begin
for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
if n mod I=0 then begin
prime:=false; exit;
prime:=true;
B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：
procedure getprime;
i,j:longint;
p:array[1..50000] of boolean;
begin
fillchar(p,sizeof(p),true);
p[1]:=false;
i:=2;
while i=x then break
else if x mod pr[i]=0 then exit;
prime:=true;
end;{prime}
procedure prim(v0:integer);
lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:integer;
begin
for i:=1 to n do begin
lowcost[i]:=cost[v0,i];
closest[i]:=v0;
for i:=1 to n-1 do begin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}
min:=maxlongint;
for j:=1 to n do
if (lowcost[j]0) then begin
min:=lowcost[j];
k:=j;
lowcost[k]:=0; {将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}
for j:=1 to n do
if cost[k,j]
B.Kruskal算法：(贪心) 按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。
function find(v:integer):integer; {返回顶点v所在的集合}
var i:integer;
begin
i:=1;
while (i0 do begin
i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2);
if i<>j then begin
inc(tot,e[q].len);
vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];
dec(p);
inc(q);
writeln(tot);
2.最短路径 A.标号法求解单源点最短路径：
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}
mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure bhf;
best,best_j:integer;
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点}
repeat
best:=0;
for i:=1 to n do
If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
for j:=1 to n do
if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then
if (best=0) or (b[i]+a[i,j]0 then begin
b[best_j]:=best；mark[best_j]:=true;
until best=0;
end;{bhf}
B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：
procedure floyed;
begin
for I:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
for k:=1 to n do {枚举中间结点}
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,k]+a[j,k]
C. Dijkstra 算法：
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
mark:array[1..maxn] of boolean;
procedure dijkstra(v0:integer);
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
for i:=1 to n do begin
d[i]:=a[v0,i];
if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
mark[v0]:=true;
repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点}
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (d[i]0 then begin
mark[u]:=true;
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]
3.计算图的传递闭包
Procedure Longlink;
T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;
Begin
Fillchar(t,sizeof(t),false);
For k:=1 to n do
For I:=1 to n do
For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]);
4．无向图的连通分量 A.深度优先
procedure dfs ( now,color: integer);
begin
for i:=1 to n do
if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}
c[i]:=color;
dfs(I,color);
B 宽度优先（种子染色法）
5．关键路径 几个定义： 顶点1为源点，n为汇点。 a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0; b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n); c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由表示，则Ee[I] = Ve[j]; d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k]; 若 Ee[j] = El[j] ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。 求解方法： a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve; b. 从汇点起topsort,求Vl; c. 算Ee 和 El;
1．0-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)： A.求最多可放入的重量。 NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法
procedure search(k,v:integer); {搜索第k个物品，剩余空间为v}
var i,j:integer;
begin
if v=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和}
if kw[k] then search(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
l DP F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。 实现:将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j)
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
{优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。}
F[0]:=true;
For I:=1 to n do begin
F1:=f;
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
F:=f1;
B.求可以放入的最大价值。 F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }
C.求恰好装满的情况数。 DP:
Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
if j+now
f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k 其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
Begin
FillChar(f,SizeOf(f),0);
For i:=1 To M Do
For j:=1 To N Do
If i-problem[j].time>=0 Then
Begin
t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
If t>f[i] Then f[i]:=t;
Writeln(f[M]);
procedure try(dep:integer);
var i,j:integer;
begin
cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}
if now>n then exit; {剪枝}
if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
if now=n then inc(tot);
exit;
for i:=0 to n div pr[dep] do begin
xs[dep]:=i;
try(dep+1);
xs[dep]:=0;
思路二，递归搜索效率较高
procedure try(dep,rest:integer);
var i,j,x:integer;
begin
if (rest
思路三：可使用动态规划求解 USACO1.2 money system V个物品，背包容量为n，求放法总数。 转移方程：
Procedure update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
for k:=1 to n div now do
if j+now*k
四、排序算法
A.快速排序：
procedure qsort(l,r:integer);
var i,j,mid:integer;
begin
i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
while a[i]mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数}
if ij;
B.插入排序：
思路：当前a[1]..a[i-1]已排好序了，现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。
procedure insert_sort;
var i,j:integer;
begin
for i:=2 to n do begin
a[0]:=a[i];
j:=i-1;
while a[0]
C.选择排序：
procedure sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
if a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j]);
D. 冒泡排序
procedure bubble_sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=n downto i+1 do
if a[j]
E.堆排序：
procedure sift(i,m:integer);{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
var k:integer;
begin
a[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
while k
F. 归并排序
{a为序列表，tmp为辅助数组}
procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer);
{将已排序好的子序列a[p..q]与a[q+1..r]合并为有序的tmp[p..r]}
I,j,t:integer;
tmp:listtype;
begin
t:=p;i:=p;j:=q+1;{t为tmp指针，I,j分别为左右子序列的指针}
while (tr) or (a[i]r then begin
q:=(p+r-1) div 2;
merge_sort (a,p,q);
merge_sort (a,q+1,r);
merge (a,p,q,r);
{main}
begin
merge_sort(a,1,n);
G.基数排序 思想：对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序
五、高精度计算
高精度数的定义：
hp=array[1..maxlen] of integer;
1．高精度加法
procedure plus ( a,b:hp; var c:hp);
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0];
for i:=1 to len do begin
inc(c[i],a[i]+b[i]);
if c[i]>10 then begin dec(c[i],10); inc(c[i+1]); end; {进位}
if c[len+1]>0 then inc(len);
c[0]:=len;
end;{plus}
2．高精度减法
procedure substract(a,b:hp;var c:hp);
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
if a[0]>b[0] then len:=a[0] else len:=b[0];
for i:=1 to len do begin
inc(c[i],a[i]-b[i]);
if c[i]1) and (c[len]=0) do dec(len);
c[0]:=len;
3．高精度乘以低精度
procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp);
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
len:=a[0];
for i:=1 to len do begin
inc(c[i],a[i]*b);
inc(c[i+1],(a[i]*b) div 10);
c[i]:=c[i] mod 10;
inc(len);
while (c[len]>=10) do begin {处理最高位的进位}
c[len+1]:=c[len] div 10;
c[len]:=c[len] mod 10;
inc(len);
while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len); {若不需进位则调整len}
c[0]:=len;
end;{multiply}
4．高精度乘以高精度
procedure high_multiply(a,b:hp; var c:hp}
var i,j,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
for i:=1 to a[0] do
for j:=1 to b[0] do begin
inc(c[i+j-1],a[i]*b[j]);
inc(c[i+j],c[i+j-1] div 10);
c[i+j-1]:=c[i+j-1] mod 10;
len:=a[0]+b[0]+1;
while (len>1) and (c[len]=0) do dec(len);
c[0]:=len;
5．高精度除以低精度
procedure devide(a:hp;b:longint; var c:hp; var d:longint);
{c:=a div b; d:= a mod b}
var i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
len:=a[0]; d:=0;
for i:=len downto 1 do begin
d:=d*10+a[i];
c[i]:=d div b;
d:=d mod b;
while (len>1) and (c[len]=0) then dec(len);
c[0]:=len;
6．高精度除以高精度
procedure high_devide(a,b:hp; var c,d:hp);
i,len:integer;
begin
fillchar(c,sizeof(c),0);
fillchar(d,sizeof(d),0);
len:=a[0];d[0]:=1;
for i:=len downto 1 do begin
multiply(d,10,d);
d[1]:=a[i];
while(compare(d,b)>=0) do {即d>=b} begin
Subtract(d,b,d);
inc(c[i]);
while(len>1)and(c.s[len]=0) do dec(len);
c.len:=len;
六、 树的遍历
1．已知前序中序求后序
procedure Solve(pre,mid:string);
var i:integer;
begin
if (pre='''') or (mid='''') then exit;
i:=pos(pre[1],mid);
solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1));
solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i));
post:=post+pre[1]; {加上根，递归结束后post即为后序遍历}
2．已知中序后序求前序
procedure Solve(mid,post:string);
var i:integer;
begin
if (mid='''') or (post='''') then exit;
i:=pos(post[length(post)],mid);
pre:=pre+post[length(post)]; {加上根，递归结束后pre即为前序遍历}
solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1));
solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i));
3．已知前序后序求中序的一种
function ok(s1,s2:string):boolean;
var i,l:integer; p:boolean;
begin
ok:=true;
l:=length(s1);
for i:=1 to l do begin
p:=false;
for j:=1 to l do
if s1[i]=s2[j] then p:=true;
if not p then begin ok:=false;exit;end;
procedure solve(pre,post:string);
var i:integer;
begin
if (pre='''') or (post='''') then exit;
i:=0;
repeat
inc(i);
until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i));
midstr:=midstr+pre[1];
solve(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1));
procedure solve(dep:integer);
i:integer;
begin
if dep=n+1 then begin writeln(s);exit; end;
for i:=1 to n do
if not used[i] then begin
s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true;
solve(dep+1);
s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
2.组合的生成(1..n中选取k个数的所有方案)
procedure solve(dep,pre:integer);
i:integer;
begin
if dep=k+1 then begin writeln(s);exit; end;
for i:=1 to n do
if (not used[i]) and (i>pre) then begin
s:=s+chr(i+ord(''0''));used[i]:=true;
solve(dep+1,i);
s:=copy(s,1,length(s)-1); used[i]:=false;
九.查找算法
1.折半查找
function binsearch(k:keytype):integer;
var low,hig,mid:integer;
begin
low:=1;hig:=n;
mid:=(low+hig) div 2;
while (a[mid].key<>k) and (lowk then hig:=mid-1
else low:=mid+1;
mid:=(low+hig) div 2;
if low>hig then mid:=0;
binsearch:=mid;
2.树形查找
二叉排序树：每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结点的值。 查找
function treesrh(k:keytype):pointer;
var q:pointer;
begin
q:=root;
while (q<>nil) and (q^.key<>k) do
procedure try(i:byte);
var j:byte;
begin
if i=n+1 then begin print;exit;end;
for j:=1 to n do
if a[i] and b[j+i] and c[j-i] then begin
x[i]:=j;
a[j]:=false; b[j+i]:=false; c[j-i]:=false;
try(i+1);
a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[j-i]:=true;
2.Hanoi Tower 汉诺塔
h(n)=2*h(n-1)+1 h(1)=1 初始所有铜片都在a柱上
procedure hanoi(n,a,b,c:byte); {将第n块铜片从a柱通过b柱移到c柱上}
begin
if n=0 then exit;
hanoi(n-1,a,c,b); {将上面的n-1块从a柱通过c柱移到b柱上}
write(n,’moved from’,a,’to’,c);
hanoi(n-1,b,a,c);{ 将b上的n-1块从b柱通过a柱移到c柱上
Procedure move(k,goal:integer); {将最大不到位的k移到目标柱goal上}
Begin
If k=0 then exit;
For I:=1 to 3 do
For j:=1 to han[I,0] do
If h[I,j]=k then begin now:=I;nowp:=j; end; {找到k的位置}
If now<>goal then begin {若未移到目标}
Move(k-1,6-now-goal); {剩下的先移到没用的柱上}
Writeln(k moved from now to goal);
H[goal,h[goal,0]+1]:=h[now,nowp]; h[now,nowp]:=0;
Inc(h[goal,0]); dec(h[now,0]);
Move(k-1,goal); {剩下的移到目标上}
十二、DFS框架
NOIP2001 数的划分
procedure work(dep,pre,s:longint); {入口为work(1,1,n)}
{dep为当前试放的第dep个数,pre为前一次试放的数,s为当前剩余可分的总数}
var j:longint;
begin
if dep=n then begin
if s>=pre then inc(r); exit;
for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j);
procedure try(dep:integer);
var i:integer;
begin
if dep=k then begin
if tot>=a[dep-1] then inc(sum);
exit;
for i:=a[dep-1] to tot div 2 do begin
a[dep]:=i; dec(tot,i);
try(dep+1);
inc(tot,i);
end;{try}
十三、BFS框架
IOI94 房间问题
head:=1; tail:=0;
while tail
十五、数据结构相关算法
1．链表的定位函数
loc(I:integer):pointer; {寻找链表中的第I个结点的指针}
procedure loc(L:linklist; I:integer):pointer;
p:pointer;
j:integer;
begin
p:=L.head; j:=0;
if (I>=1) and (I
2．单链表的插入操作
procedure insert(L:linklist; I:integer; x:datatype);
var p,q:pointer;
begin
p:=loc(L,I);
new(q);
q^.data:=x;
q^.next:=p^.next;
p^.next:=q;
inc(L.len);
3．单链表的删除操作
procedure delete(L:linklist; I:integer);
var p,q:pointer;
begin
p:=loc(L,I-1);
q:=p^.next;
p^.next:=q^.next;
dispose(q);
dec(L.len);
