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- 前言
- 问题描述
- 变分问题(弱形式)
- 有限元离散
- 二维线性有限元 : 参考基函数
- 2D linear finite element : affine mapping
- 有限元计算
- 算法(伪代码)
- 程序
- 示例结果
本文从零介绍有限元方法，包括每一步的数学推导，同时附程序开发指南。可以方便新手入门。
偏微分方程
\nabla^2u(x, y) = 0 \ \ \ \ in \ \ \Omega \ \ \ (1) \\ u = g \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ on \ \ \ \Gamma_u \ \ \ (2) \\ q = \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} = 0 \ \ \ on \ \ \ \Gamma_q \ \ \ (3) \\ ∇ 2 u ( x , y ) = 0 in Ω ( 1 ) u = g o n Γ u ( 2 ) q = ∂ n ∂ u = 0 o n Γ q ( 3 )a). 其中 \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla vds - \int_{\partial \Omega} (\nabla u \cdot \mathbf{n})vdw= 0 \ \ \ \ \ \ \ (5) ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d s − ∫ ∂ Ω ( ∇ u ⋅ n ) v d w = 0 ( 5 )
因 \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla vds - \int_{\Gamma_q} (\nabla u \cdot \mathbf{n})vdw - \int_{\Gamma_u} (\nabla u \cdot \mathbf{n})vdw= 0 \ \ \ \ \ \ \ (6) ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d s − ∫ Γ q ( ∇ u ⋅ n ) v d w − ∫ Γ u ( ∇ u ⋅ n ) v d w = 0 ( 6 )
因等式 (2) 我们可以选择最初的 \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla vds - \int_{\Gamma_q} (\nabla u \cdot \mathbf{n})vdw = 0. \ \ \ \ \ \ \ (7) ∫ Ω ∇ u ⋅ ∇ v d s − ∫ Γ q ( ∇ u ⋅ n ) v d w = 0. ( 7 )
再将等式 (3) 带入到等式 (7) 中可以得到如下的最终弱形式：
Then \ \ the \ \ weak \ \ formulation \ \ is \ \ to \ \ find \ \ u \in U \ \ such \ \ that T h e n t h e w e ak f or m u l a t i o n i s t o f in d u ∈ U s u c h t ha t
U := \{u \in C^0(\Omega) | u = g, \quad (x,y) \in \Gamma_u \} \ \ \ \ (9) \\\ V := \{v \in C^0(\Omega) | v = 0, \quad (x,y) \in \Gamma_u \} \ \ \ \ (10) U := { u ∈ C 0 ( Ω ) ∣ u = g , ( x , y ) ∈ Γ u } ( 9 ) V := { v ∈ C 0 ( Ω ) ∣ v = 0 , ( x , y ) ∈ Γ u } ( 10 )
The Galerkin formulation : find
V_h := \{ u_h \in C(T_h) | \quad u_h | _{E_i} \in P_1 \quad \forall E_i \in T_h \} \ \ \ (12) \\\ \\\ U_h^{\Gamma} := \{ \psi_h \in V_h | \quad \psi_h |_{\Gamma_u} = g \} \ \ \ (13) \\\ \\\ V_h^{\Gamma} := \{ \phi_h \in V_h | \quad \psi_h |_{\Gamma_u} = 0 \} \ \ \ (14)
V
h
:=
{
u
h
∈
C
(
T
h
)
∣
u
h
∣
E
i
∈
P
1
∀
E
i
∈
T
h
}
(
12
)
U
h
Γ
:=
{
ψ
h
∈
V
h
∣
ψ
h
∣
Γ
u
=
g
}
(
13
)
V
h
Γ
:=
{
ϕ
h
∈
V
h
∣
ψ
h
∣
Γ
u
=
0
}
(
14
)
Where
\hat{\psi}_j(\hat{x}, \hat{y}) = a_j\hat{x} + b_j\hat{y} + c_j \ \ \ \ \ \ j = 1, 2, 3,\ \ \ \ \ (15)
ψ
^
j
(
x
^
,
y
^
)
=
a