如何理解三大微分中值定理？
微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。
1 罗尔中值定理
1.1 直觉
这是往返跑：
可以认为他从 A 点出发，经过一段时间又回到了 A 点，画成 s-t （位移-时间）图就是：
根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：
拳击比赛中，步伐复杂：
但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：
这就是罗尔中值定理。
1.2 罗尔中值定理
设函数满足以下三个条件：
- f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续
- f(x) 在开区间 (a,b) 上可导
- f(a)=f(b)
则存在 \xi \in (a,b) ，使得 f'(\xi)=0
f(x) 在闭区间 [a,b] 连续是必须的，否则有可能没有 f'(\xi)=0 ：
在开区间 (a,b) 可导也是必须的：
1.3 拓展
可能有的同学觉得，定理中的条件“ f(x) 在闭区间 [a,b] 连续、在 \color{ForestGreen}{开区间(a,b)} 可导”比较古怪，为什么不是“ f(x) 在闭区间 [a,b] 连续、在 \color{Magenta}{闭区间[a,b]} 可导”？
大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，比如：
f(x)= \begin{cases} x(1-x)\sin\frac{1}{x(1-x)},x\in(0,1)\neq 0\\ 0, &x=0,1 \end{cases} \\
此函数在图像如下：
此函数就是在 [0,1] 连续， (1,0) 可导，在端点 x=0,1 处导数不存在（类似于 x\sin\frac{1}{x} 在0点处不可导，可自行证明）。
2 拉格朗日中值定理
来看下交通管理中的区间测速：
时间 a 采集到汽车的位移为 f(a) ，时间 b 采集到汽车的位移为 f(b)
可以据此算出平均速度为：
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\
比如算出来平均速度为 70km/h ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：
- 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为 70km/h
- 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于 70km/h 的情况
下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：
如果限速 60km/h ，那么根据汽车的平均速度为 70km/h ，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。
约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。
2.1 拉格朗日中值定理
设函数满足以下两个条件：
- f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续
- f(x) 在开区间 (a,b) 上可导
则存在 \xi\in (a,b) ，使得 f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：
把它旋转一下，使得 f(a)=f(b) ：
得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例：
3 柯西中值定理
3.1 二维空间中的运动
之前讨论的是一维空间中的运动，下面来看看二维空间中的运动（关于这点，可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节）。假设参数方程：
\begin{cases} x=g(t)\\ y=f(t) \end{cases} \\
描述了一个二维空间中的运动：
为了方便描述，令 A=(g(a),f(a)) 、 B=(g(b),f(b)) ，那么上图描述的就是 a 时刻在 A 位置， b 时刻运动到了 B 位置。向量 \boldsymbol{a} 就表明了最终的运动方向：
仔细分析此运动过程，刚开始的时候，速度 \boldsymbol{v} 的方向与 \boldsymbol{a} 相反，也就是说点是反着走的：
所以需要不断转弯调整：
最终才能到达目的地：
容易想象，在转弯调整的过程中，必然会有 \boldsymbol{v} 和 \boldsymbol{a} 同向的时刻，比如 t=\xi 时刻：
那么两者所在直线必然也平行：
此时， \boldsymbol{a} 所在直线的斜率：
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\\
以及 \boldsymbol{v} 所在直线的斜率（根据参数方程的求导法则）：
\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\
必然相等：
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\
这就是柯西中值定理。
3.2 定理
设函数 f(x),g(x) 满足以下条件：
- f(x),g(x) 在闭区间 [a,b] 上连续
- f(x),g(x) 在开区间 (a,b) 上可导
- \forall x\in(a,b) 有： g'(x)\neq 0
则存在 \xi \in (a,b) ，使等式
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\
成立。
可以把 f(x),g(x) 组合成参数方程：
\begin{cases} x=f(t)\\ y=g(t) \end{cases} \\
这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：
如果：
\begin{cases} x=x\\ y=f(x) \end{cases} \\
那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。
4 总结
三大微分中值定理的联系与区别：
本文为 微分中值定理 的节选，因为格式问题，还有一些证明、扩展没有贴上来，可以到原文去查看。
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