是两个集合组成的有序对，其中V是一个有限的非空集合，称为顶点集，其元素称为顶点，E是由V中的顶点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称为边。对于 。

众所周知，行列式理论在高等代数中有着基本而重要的作用，而排列的逆序数是在行列式的定义过程不可绕开的一个概念。但是这一概念过于抽象，初学者理解起来比较困难。在讲授逆序数概念时，画出对应的逆序图，不但有利于学生对概念的理解，还可以给学生提供一种更具体和更直观的求逆序数的方法。

4. 用霍尔定理研究子群的陪集

群是代数学中一个重要的概念，是研究一些几何结构或组合结构的对称性的重要工具。设G是一个非空集合，在其上定义一个二元运算“ ”，满足如下三条公理：

a) 结合律成立，即对 ，则它们有相同的左陪集代表系。

霍尔定理是一个应用性很强的定理。在图论和组合数学教材里，已经展示了这个定理的在日常生活中的各种应用。比如，在分配任务、物流调度等方面的应用。通过定理1的证明，可以看出这一定理在其他数学课程中也有应用。定理1完全可以用纯群论的方法给出证明，但是证明过程会非常复杂。我们通过定理1的证明展示了图论与抽象代数两门课程之间的一个联系。事实上，代数学与图论的深入融合已经发展成为了一个重要的研究领域，也就是代数图论。在讲授抽象代数或图论课的时候，适当地介绍一点这方面的内容，可以开阔学生的视野，激发学生的兴趣，引导学生探索当今数学的前沿问题。

5. 教学实践

用逆序图计算排列逆序数的方法在2021年和2022年的高等代数课堂上各用过一次，授课对象是数学与应用数学专业的大一学生。虽然组合数学或者图论是数学专业高年级才开设的课程，但是图这一概念并不是那么抽象，比较容易理解，还可以在黑板上或PPT中演示。我们的课程设计安排如下：先介绍常规的计算排列的逆序数的方法，并告诉大家中学时常用的数形结合思想也可以用来计算排列的逆序数，这样就调动起了学生的好奇心；接着介绍图的概念，特别地在黑板上画了很多典型的图；然后给出逆序图的概念，并引导学生给出用逆序图求排列逆序数的方法；最后提出了一些问题供学有余力的同学思考。在授课过程中，学生的反应还是比较积极的。并且发现很多同学早已经知道了图这一概念，可能是这部分学生在中小学时参加过奥数培训，已经学过关于图的一些基本知识。在给出逆序图的定义以后，一些反应比较快的学生马上就意识到了逆序数就等于逆序图的边数。整节课还是比较顺利的，增加的用逆序图计算排列逆序数的内容大概只占用了20分钟的时间。课堂的最后提出的问题后来也得到了反馈，一些学习积极的同学在课下还与我进行交流，给出了部分问题的解答。

用霍尔定理研究子群陪集的方法在2022年给研究生开设的有限群论讨论班上用过一次。将来计划在高年级的抽象代数课堂上运用。参与有限群论讨论班的学生都是基础数学专业的学生，大部分同学的研究方向是代数组合，还有几个是同调代数方向的。这些学生都是研究生一年级，他们本科时已经学过组合数学或图论，对图论中的相关概念还是比较熟悉的，对霍尔定理也有印象，但是只有个别同学能够说出霍尔定理的内容。由于是讨论班，师生之间一直在互动。我们首先讨论了子群的陪集、群的正规性等内容。接着很自然地引出问题：两个阶数相同的子群是否一定有相同的陪集代表系。通过分析几个特殊的例子以后，同学们坚信问题的答案是肯定的。然后大家开始讨论如何给出证明，尝试了很多中方法都失败了。这时我引导大家可以考虑用组合的方法去尝试，有些同学开始建议用构造图的办法去处理。这个建议得到了认可，图也成功构造出来了，但是接下来怎么分析呢？在经过认真的思考后，有同学说用霍尔定理应该可以解决，但是大部分同学已经忘了霍尔定理的内容。于是我们又讨论了霍尔定理，并且给出了这个定理的证明。最后我们用霍尔定理证明了想要的结论。这次讨论课是非常成功的，学生们初步体验到了组合数学与代数学之间相互融合的魅力，他们的探索未知的兴趣被激发了出来。

基金项目

重庆市教育委员会科学技术研究项目(KJQN20180512)。

文章引用

张军阳. 代数教学中的组合方法
Combinatorial Approach in Algebra Teaching[J]. 教育进展, 2023, 13(07): 4628-4633. https://doi.org/10.12677/AE.2023.137728

参考文献