初始 (IVP) 和边界值问题 (BVP) 综述

DSolve 可用于求解微分方程或微分方程组的通解. 通解提供有关问题的完整解空间结构的信息. 然而，在实践中，人们通常仅对满足与应用领域相关的某些条件的特定解感兴趣. 这些条件通常有两种类型.

解 和/或其导数要求在一个单点上有特定的值，例如， 和 . 这类问题传统上称为初值问题 (IVP)，因为假定系统从固定的初始点(本例中为0)开始演化.

解 需要在一对点上有特定的值，例如， 和 . 这些问题称为边值问题 (BVP)，因为点 0 和点 1 被视为应用中感兴趣领域的边界点(或边).

IVP 和 BVP 的符号解需要问题的通解知识. 最后一步，使用初始值或边界值获得特定解，主要涉及代数运算，并且对于 IVP 和 BVP 类似.

由于最终的代数步骤涉及线性方程的解，因此 线性 微分方程的 IVP 和 BVP 被相当容易地求解. 然而，如果基础方程是 非线性 的，那么解可以有几个分支，或者来自通解的任意常数可以出现在超越函数的不同参数中. 因此，并非总能完成非线性问题的最终代数步骤. 最后，如果基础方程具有分段（即，不连续）系数，则 IVP 在系数连续的区域上自然地分解为更简单的IVP.

线性 IVP 和 BVP

首先，考虑线性一阶 ODE 的初始值问题.

对于非线性方程，可能无法始终获得 IVP 或 BVP 的符号解. 在这种情况下可能需要数值方法.

带有分段系数的 IVP

在现代应用中出现的微分方程通常具有不连续的系数. DSolve 可以使用 分段系数 处理各种这样的 ODE. 这些方程中使用的一些函数是 UnitStep 、 Max 、 Min 、 Sign 和 Abs . 这些函数及其组合可以转换为 Piecewise 对象.

分段 ODE 可以被认为是不相交间隔上的 ODE 的集合，使得系数和边界条件的表达式从一个区间变化到另一个区间. 因此，不同的区间具有不同的解，并且通过在不同的区间上将解拼接在一起来获得 ODE 的最终解.