多周期时间序列分解算法-MSTL原理
1.时间序列分解和STL算法
时间序列算法分解一般是指把一个时间序列分解成：趋势序列，周期序列，残差序列。
时间序列分解算法最广为人知的可能是STL算法。它只能分解出一个周期序列。有很多博客和文章叙述了STL分解的原理，例如博客 时间序列分解算法：STL 。其中也有原论文的链接，看原论文也较容易理解。
2.MSTL分解算法
MSTL可以理解成multiple-STL。它和STL的区别是：STL分解的输入包含一个周期数，而这个算法可以输入多个周期数。MSTL可以分离出多个周期序列。
STL：Y(t)=Trend(t)+Season(t)+Remainder(t)
MSTL：Y(t)=Trend(t)+Season1(t)+Season2(t)+...+SeasonN(t)+Remainder(t)
它的原理简述如下： ————————————————————————————————————
Step0 ：初始化。
（a）原始序列设为x，空缺值用插值补全；、
（b）将给定的所有周期数按从小到大排序，记为数组msts；
（c）各个周期成分seas初始值均设为0，seas可以理解成一个二维数组，第一维的长度为周期的个数；
（d）给定算法内部循环次数iterate；
去周期成分设为deseas，初始值为原始序列deseas=x；
Step1
：对下述{}内的过程循环iterate次后停止，特别的第j次循环如下。
{从小到大遍历周期数组msts中的周期，运行下述(1.a)~(1.d)，特别的，对第i个周期 msts[i]，执行下述操作：
（1.a）更新去周期成分：deseas=deseas+seas[i]（seas[i]为第i个周期对应的
序列,初始设为0向量)；
（1.b）对deseas用stl分解算法以第i个周期（msts[i]）进行分解，分解模型记
为fit；
（1.c）更新第i个周期对应的周期序列为fit的周期序列，即
seas[i]=seasonal(fit)；
（1.d）更新去周期成分，deseas=deseas–seas[i]。
遍历msts中的每个周期数之后，计算原序列的其他成分：
（2.a）计算原始序列的趋势成分，trend=trendcycle(fit)。
（3.a）计算原始序列分解的残差成分，remainder=deseas-trend。
}
Step2 ：输出原始序列的分解结果：趋势序列trend，若干周期序列seas，残差序列 remainder。 ————————————————————————————————————
可以看到：
（1）第一次循环，从小到大遍历周期时，用STL算法把各个周期序列“剥离”出
来，存到seas里。然后计算一个什么周期都没有trend和remainder。注意
这时候deseas等于trend+remainder。
（2）第二次循环，从小到大遍历周期时，这时STL分解的是trend+reminder+seas[i]，没有
其他周期项的干扰，这时分解出第i个周期对应的周期序列应该更好。用它来更新
seas[i]。然后再次更新trend和remainder。注意这时候deseas一直等于
trend+remainder。
（3）依次遍历，不断地优化所有的子序列。
3.参考资料
上述算法是从R的mstl()源码解析出来的，可能有误差，详情请参考 R函数mstl()源码地址 。
