如图 ，A 点可以表示成向量 $\vec{OA}$ ；在 x 轴和 y 轴上各有 i 点（1， 0）和 j 点（0，1），同样的，让它们与原点组成向量，为了简化，我们用 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 表示这两个向量。

因为 A 点的坐标为 (3, 2)，如果我们要用 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 表示 $\vec{OA}$ ，那是这样的：
$$
3\vec{i} + 2\vec{j} = \vec{OA}
$$
这里的几何意义是 $\vec{i}$ 延展到 $3\vec{i}$ ，$\vec{j}$ 延展到 $2\vec{j}$ ，然后把这两个向量相加即可得到 $\vec{OA}$

i 坐标是 （1， 0），j 坐标是 （0，1），我们把上面这个等式转换成竖列的形式：
$$
3
\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}
+
2
\begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\ 2
\end{bmatrix}
$$
这里其实是向量的简单运算，运算过程如下：
$$
\begin{bmatrix}
3 \times 1 \\ 3 \times 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \times 0\\2 \times 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \times 1 + 2 \times 0\\3 \times 0 + 2 \times 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3\\2
\end{bmatrix}
$$
看到运算过程是否有种似曾相识的感觉？这不就是矩阵与向量的乘法计算吗？这个运算其实就是将 向量左乘一个矩阵 的计算：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0\\0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3\\2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \times 1 + 2 \times 0 \\3 \times 0 + 2 \times 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\ 2
\end{bmatrix}
$$
这里 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 其实就是 单元矩阵 ，左乘一个单元矩阵并不会改变原来的值。而这个单元矩阵以两个竖列来看， 正是 i 和 j 点的坐标 ，也是向量 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ ，在数学上将 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 称为此坐标系的 基向量 。

旋转后 i 点和 j 点对应 $i^\prime$ 和 $j^\prime$ 位置。

通过简单的三角函数计算得到： $i^\prime$ 坐标为 $\begin{bmatrix}cos45^o \\ sin45^o\end{bmatrix}$ ，$j^\prime$ 坐标为 $\begin{bmatrix} -sin45^o \\ cons45^o \end{bmatrix}$

旋转后，A 点的坐标是多少呢？回顾上面的做法， $\vec{i^\prime}$ 延展到 $3\vec{i^\prime}$ ，$\vec{j^\prime}$ 延展到 $2\vec{j^\prime}$ ，然后把这两个向量相加即可得到 $\vec{OA^\prime}$ 。结合上面一节矩阵和向量的推演，可以变成下面的形式：
$$
\begin{bmatrix}
cos45^o & -sin45^o \\sin45^o & cos45^o
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 \\ 2
\end{bmatrix}
$$
我们发现，左边的矩阵不正是开头所看到的 旋转矩阵 吗？只不过这是二维平面上的旋转矩阵:
$$
\begin{bmatrix}
cos\theta & -sin\theta \\sin\theta & cos\theta
\end{bmatrix}
$$
结合图形和计算，我们可以这样理解这个二维矩阵：二维矩阵代表一个坐标系里的两个基向量，而在这个坐标系里的点与原点组成的向量，都可以用这两个基向量的变换来表示。那么旋转一个点，可以转换成旋转这个点所在的坐标系，从而通过变化的基向量求出旋转后的点的位置。

其实这种变换在数学上称作 线性变换 ，线性变换是通过 矩阵乘法 来实现