いきなりOpenFOAM (20)

ここで、αは迎角[rad]、ycは単位円の中心ｙ座標です。揚力係数CLは、第18回で説明したように、単位円では循環と等しくなるため、下記の式で求められます。

等角写像の性質から、ジューコフスキー変換を施した翼形状に対しても(3)式は成り立つため、ジューコフスキー翼の揚力係数は(3)式で求めることができます。(3)式を見ると、迎角αを増加させたり、翼の反りを増加させたりすると、揚力係数が増加することがわかります。実際の翼では失速するため、迎角や反りを大きくするとある値以上では揚力係数が減少しますが、(3)式は理想流体を基にした結果のため、失速については計算できません。また、 第19回 で見たように、実際の回転する円柱と周囲流体との間にはすべりがあるため、揚力係数は循環から求めた揚力係数よりも小さくなります。ジューコフスキー翼についても同様で、揚力係数は(3)式で求めた値よりも小さくなります。これは次回、OpenFOAMで解析して、(3)式による結果と比較してみます。

クッタの条件を満足する循環を与えられた円柱周りの流線を表示するPythonコードを下記に記します。3行目が反りに相当する単位円の中心ｙ座標yc、4行目が迎角a[度]です。下記のコードを実行すると、図2に示すような円柱周りの流線が得られます。

import numpy
from matplotlib import pyplot
yc=0.1
a=10
a=numpy.deg2rad(a)
pi=numpy.pi
G=4*pi*numpy.sin(a+numpy.arcsin(yc))
xy=numpy.arange(-3,3,0.01)
(x,y)=numpy.meshgrid(xy,xy)
z=x+1j*y
W=(z*numpy.exp(-1j*a)+1/z*numpy.exp(1j*a))+1j*G/2/pinumpy.log(z)
psi=W.imag
psi=numpy.where(numpy.abs(z)<=1,0,psi) pyplot.contour(x,y,psi,levels=numpy.arange(-4,4,0.2)) zz=numpy.exp(1j*numpy.linspace(0,2,100)*pi)
pyplot.plot(zz.real,zz.imag)
pyplot.gca().set_aspect('equal')
pyplot.show()

以上をまとめると、ジューコフスキー翼周りの流線を表示できます。下記にそのPythonコードを記します。動作させた結果は図3のようになります。翼端で流れが合流し、クッタの条件を満足していることがわかります。また、翼上面側の流線間隔は、翼下面側よりも狭くなっていて、流速が増加していることがわかります。ベルヌイの定理から翼上面では静圧が低下し、翼下面では静圧が上昇することで揚力が発生することがわかります。この場合の揚力係数は(3)式から、Cl=3.4となります。

import numpy
from matplotlib import pyplot
pi=numpy.pi
xc=-0.1
yc=0.1
zc=xc+1j*yc
a=10
a=numpy.deg2rad(a)
G=4*pi*numpy.sin(a+numpy.arcsin(yc))
c=xc+numpy.sqrt(1-yc**2)
zeta=lambda z:(z+c**2/z)*numpy.exp(-1j*a)
xy=numpy.arange(-4,4,0.01)
(x,y)=numpy.meshgrid(xy,xy)
z=x+1j*y
W=(z*numpy.exp(-1j*a)+1/z*numpy.exp(1j*a))+1j*G/2/pi*numpy.log(z)
psi=W.imag
psi=numpy.where(numpy.abs(z)<=1,0,psi)
pyplot.contour(zeta(z+zc).real,zeta(z+zc).imag,psi,levels=numpy.arange(-4,4,0.2))
zz=numpy.exp(1j*numpy.linspace(0,2,100)*pi)+zc
pyplot.plot(zeta(zz).real,zeta(zz).imag)
pyplot.xlim([-3,3])
pyplot.ylim([-3,3])
pyplot.gca().set_aspect('equal')
pyplot.show()

なお、クッタの条件を満足しないとどうなるのかを上記のコードで9行目の式をG=0として計算してみると、図4に示すように、翼端を流れが回り込むという現実にはあり得ない状況となります。つまり、クッタの条件を満足しないと計算結果は現実にはあり得ない状況となります。言い方を変えると、クッタの条件を満足する循環を与えることで、その循環により翼に揚力が発生するというメカニズムになります。ちょっとトリッキーな説明のように見えますが、その後の実験や解析により、翼には循環が発生していることが確認されています。翼周りに発生する循環は次回、確認してみます。