卡尔曼滤波中的噪声协方差矩阵（R和Q）应该怎么取值,和噪声分布之间的关系是什么？

我的理解是：理论+试错调参

一、理论：

首先，PQR都是矩阵，看到矩阵，不能只是看到一个方块，要知道causality，也就是里面对应元素的意思。协方差矩阵，每个元素都是某两个值的协方差，协方差公式为

那么，是谁和谁的协方差呢？p_{ij}，就是第i个状态量与第j个状态量的协方差。那么你可以看出来，协方差矩阵P应该是对称的。如果某两个变量是不相关的，那么协方差为0。一般只需要设置P0，剩下的都是自动算的。在设置噪声矩阵的时候，我们通常假设数据的噪声相互之间是独立的，那就只设置对角线上的元素，自己和自己的协方差（也就是“方差”），这时候就只需要考虑数据自己本身的特性了。

P0 = Var⟨X0⟩ P的初值就是代表你对你估计的X0有多不确定。P0为0的时候就是说你对你给初值有着坚不可摧的信心。一般来说宁可设成单位阵都不会设成0的。

卡尔马滤波算法假设所有噪声都是零均值的白噪声，那么Q和R中的元素就是白噪声的方差。即：

Xk+1 = f(X^ k) + wk， wk ∼ N(0; Qk)

Zk+1 = h(X^ k+1/k) + vk， vk ∼ N(0; Rk)

Q代表建模误差，跟你计算机舍入误差（比如说用了浮点，那么会引入1e-7的误差项）、模型的线性化程度、离散化引入误差有关系；如果你还有输入u的话，输入的误差也会考虑到这里。

R的选取与传感器的特性有关，具体到应用中，比如导航系统，我的GPS传感器传下来的位置p会在真值附近有个方差为±3m的噪声，那么R中对应p的那个元素就该是3。

如果P0、Q、R无法精确获得，只知道可能的取值范围，则采用可能的较大值（保守）。如果不确切知道Q、R、P0的准确先验信息，应适当增大Q的取值，以增大对实时量测值的利用权重，俗称调谐。但是调谐存在盲目性，无法知道Q要调到多大才行。
——《卡尔曼滤波与组合导航原理》秦永元

二、调参

关于PQR的关系，看公式就一目了然：

这俩公式本质上就是K= （Pk+Q） / （Pk+Q+R）

Q和R分别代表对预测值和测量值的置信度（反比），通过影响卡尔曼增益K的值，影响预测值和测量值的权重。越大的R代表越不相信测量值。

而参数的选择其实和需求有关系，基于不同的准确度、动态性能、平滑度等会有不同的取舍。

《Fundamentals Of Kalman Filtering：A Practical Approach》Paul Zarchan 是一本注重实践操作，饱含干货的好书，可以借鉴。

调参手段，就是固定其中一个调另一个。

那么，怎么判断你调的效果变好了呢？

1、如果你在做仿真，知道真值是多少，那么只要看估计出来的值是不是更精确了就好；如果你加的是随机噪声，可能还要用到Monte Carlo判据。协方差矩阵对角线元素开根号其实就是标准差“1σ”， 若KF正确工作，则66%的误差点应落在±1σ界限以内。 就像下面这个图。Theory那俩条线就是σ在逐渐收敛，然后虚线那些是误差，误差的跳动范围大概就在两条边界线之间。（图来自Paul Zarchan的书）

2、再荐一本书：《Optimal State Estimation Kalman-H-and Nonlinear Approaches》与上面提到的Paul的书不同，这本书注重理论，推导清晰严谨，也有很多直觉解释，对新手友好。此书中提到还有一个判断方法： 如果KF正常工作，残差（innovation）应该是一个均值为0、方差为（HPH+R）、白色的变量。 当KF工作的时候，记录innovation的值，验证一下是否符合这些性质，如果不如预期，就说明有问题了，可以据此调参。