除了通过最小化误差平方和来估计参数，另一种方法是通过 最大化“似然函数” 。似然函数是特定模型产生数据的概率。因此，一个好的模型通常有着较大的似然函数。对于一个加性误差模型，最大化似然函数（假定误差正态分布）与最小化误差平方和给出的结果相同。但是，乘性误差模型会得到不同的结果。在本节中，我们将通过最大化似然函数来估计平滑参数 \(\alpha\) ， \(\beta\) ， \(\gamma\) 和 \(\phi\) ，以及初始状态 \(\ell_0\) ， \(b_0\) ， \(s_0,s_{-1},\dots,s_{-m+1}\) 。

平滑参数可以采用的可能值会受到限制。传统上，参数被限制在0和1之间，以便于将方程解释为加权平均值。也就是说， \(0< \alpha,\beta^*,\gamma^*,\phi<1\) 。对于状态空间模型，我们设置了 \(\beta=\alpha\beta^*\) 和 \(\gamma=(1-\alpha)\gamma^*\) 。因此，传统的限制转换为 \(0< \alpha <1\) ， \(0 < \beta < \alpha\) 以及 \(0< \gamma < 1-\alpha\) 。在实践中，阻尼参数 \(\phi\) 通常会受到进一步限制，以防止模型估计过程中的计算困难。在R中，它被限制为 \(0.8<\phi<0.98\) 。

在R中，可以使用forecast包里的 ets() 函数来估计这些模型。 与 ses() ， holt() 和 hw() 函数不同， ets() 函数不会生成预测值，而是估计模型参数值并返回有关拟合模型的信息。默认情况下，它使用AICc来选择适当的模型，但也可以选择其他信息准则。

下面的R代码显示了此函数可以采用的最重要参数及其默认值。如果只指定了时间系列，并且所有其他参数都保留其默认值，则将自动选择适当的模型。我们在代码下面对参数值进行了解释。请参阅帮助文件以获取更完整的说明。

ets() 函数将返回 ets 类的对象。有许多R函数可以方便地处理 ets 对象，将其中几个描述如下。

coef() ： 返回所有拟合参数值。

accuracy() ： 返回在训练数据上计算出的准确性度量。

summary() ： 打印一些关于拟合模型的摘要信息。

autoplot() 和 plot() ： 生成各成分的时序图。

residuals() ： 返回估计模型的残差。

fitted() ： 返回训练数据的一步预测值。

simulate() ： 将模拟来自拟合模型的未来样本路径。

forecast() ： 计算将在下一节所讲的点预测值和预测区间。

我们现在使用ETS统计框架来预测2016–2019年期间国际旅客在澳大利亚过夜的天数。我们让 ets() 函数通过最小化AICc来选择模型。