SciPy 中 Gamma 及其相关函数 | Wang's Blog

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Gamma 和 beta 函数

在 SciPy 中 gamma 函数 $\Gamma (z)$ 和 beta 函数 $B(x, y)$ 毫不意外地被称为 gamma 和 beta 。 gamma(z) 计算：

$$\Gamma (z) = \int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t} dt$$

beta(x, y) 计算：

$$B(x, y ) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt=\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

对数

通常 gamma 和 beta 函数在实践中不如其对数形式有用（请参阅这里的解释）。这些对数形式在 SciPy 中被称为 gammaln 和 betaln 。注意 gammaln 实际上返回的是 gamma 函数 绝对值 的自然对数，即 gammaln(z) 计算 $log|\Gamma(z)|$ 。而 betaln(x, y) 计算 $log|B(x, y)|$ 。

Psi 和 polygamma 函数

用 $\psi(z)$ 表示 $log(\Gamma(z))$ 的导数，在 SciPy 中被称为 psi 函数。 $\psi(z)$ 的第 n 个导数在 SciPy 中用 psi(n, z) 表示。

不完全函数与互补函数

gamma 和 beta 函数都有“不完全”版。但是，SciPy 的不完全伽马函数 gammainc 对应 正则化 伽玛函数。类似地，SciPy 的不完全 beta 函数 betainc 对应正则化 beta 函数。

（下）不完全 gamma 函数由下式定义

$$\gamma(a, z) = \int_0^z t^{a-1}e^{-t} dt$$

上不完全 gamma 函数由下式定义

$$\Gamma(a, z) = \int_z^{\infty} t^{a-1}e^{-t} dt$$

之所以被称为“不完全”是因为它们在 gamma 函数定义域的一部分进行积分。不完全 beta 函数也遵循同样的模式。

正则化的不完全 gamma 函数定义如下：

$$P(a, z) = \frac{\gamma(a, z)}{\Gamma(a)}$$

$$Q(a, z) = \frac{\Gamma(a, z)}{\Gamma(a)}$$

SciPy 的函数 gammainc(a, z) 计算 P(a, z) ，函数 gammaincc 计算 Q(a, z) 。注意 gammaincc 中额外的 c 代表“互补”。由于 Q(a, z) = 1 - P(a, z) ，所以似乎不需要同时提供 P(a, z) 及其互补函数 Q(a, z) 。但是，为了数值的精度，我们需要互补函数。请参阅这里的解释。这里同样适用于不完全伽马函数。

不完全 beta 函数定义为

$$B_x(a, b) = \int_0^x t^{a-1}(1-t)^{b-1} dt$$

正则化不完全 beta 函数定义为

$$I_x(a, b) = \frac{B_x(a, b)}{B(a, b)}$$

SciPy 函数 betainc(a, b, c) 计算 $I_x(a, b)$

反函数

以 inv 结尾的 SciPy 函数计算相应函数的反函数。 gammaincinv(a, y) 返回使得 gammainc(a, x) = y 的 x 。同样的， gammainccinv 是 gammaincc 的反函数。最后， betaincinv(a, b, y) 返回使得 betainc(a, b, x) = y 的 x 。

在 gamma 和 beta 函数的 SciPy 实现中存在不对称：没有 betaincc 或 betainccinv 函数。由于 beta 函数的对称性，这些函数是不必要的。可以将 betaincc(a, b, x) 定义为 betainc(b, a, 1-x) ，将 betainccinv(a, b, x) 定义为 betaincinv(b, a, 1-x) 。

本文翻译自： Gamma and related functions in SciPy