CFD学习：Kronecker Delta 函数的性质

Kronecker delta 函数可用于简化复杂的数学表达式

不提 Kronecker delta 函数就不可能解释理论物理。大多数物理学家、数学家和工程师都使用 Kronecker delta 函数来表达复杂的表达式。Kronecker delta 函数是一个强大的张量，有助于压缩和简化长而复杂的表达式。Kronecker delta 函数和 Levi-Civita 张量是技术领域中最流行的两种张量。在本文中，我们将探索 Kronecker delta 函数及其性质。

克罗内克三角函数

在理论物理学中，物理学家使用克罗内克δ函数来简洁明了地表达他们的想法。Kronecker delta 函数使用带有下标“i”和“j”的小写希腊字母，表示为δ _ij 。Kronecker delta 函数δ _ij 仅取两个值，1 或 0，这就是它被视为二元函数的原因。

Kronecker delta 函数根据两个索引“i”和“j”产生 1 或 0。这两个指数表示维度。例如，如果我们考虑一个三维空间，那么 Kronecker delta 函数索引 i 和 j 可以取值 1、2 和 3。

Kronecker delta 函数的数学定义是：

换句话说，当索引 i 和 j 相等时，Kronecker delta 函数等于 1。当索引 i 和 j 不相等时，Kronecker delta 函数产生 0 值。

以下是下表中克罗内克增量函数的几个示例。

Kronecker Delta 函数与单位矩阵

让我们区分单位矩阵和 Kronecker Delta 函数。

考虑一个 3 X 3 单位矩阵：

行和列分别由 i 和 j 表示。可以看出，当i和j相等时，矩阵元素I _{ij = 1。} 否则，矩阵元素为零。

从上面给出的数学方程式可以清楚地看出，单位矩阵中的任何一般元素都可以使用 Kronecker delta 函数来编写。

请注意，n 是单位矩阵的维数。

Kronecker Delta 函数规则

Kronecker delta 函数广泛用于数学、物理和工程。通过应用函数的某些规则，可以简化涉及 Kronecker delta 函数的数学计算。

Kronecker delta 函数表达式中的两个索引（i 和 j）可以互换。

在理论科学中，我们可能会得出 Kronecker delta 函数的乘积。如果 Kronecker delta 函数的乘积包含一个公共索引，则可以将其删除并使用其余索引重写。

考虑乘积δ _ik δ _kj 。在此表达式中，两个 Kronecker delta 函数都包含索引“k”。索引 'k' 可以从表达式中删除，表达式可以重写为

求和索引“k”是收缩的。

考虑乘积 a _j δ _jk 。 _{这里，j 是j} 和 Kronecker delta 函数中的公共索引。公共索引 'j' 可以从表达式中删除，因子 a _j 得到另一个索引。该表达式可以重写为

考虑δ _ii ，其中“i”从 1 变化到 n。当对索引“i”进行求和时，我们得到δ ₁₁ + δ ₂₂ + δ ₃₃ +…………。δ _nn 。根据对称属性，每个 Kronecker delta 函数产生 1 并给出等于“n”的总和。

δjj = _n

在数学陈述中应用 Kronecker Delta 函数

张量分析、线性代数和数字信号处理所涉及的数学陈述可以用 Kronecker delta 函数表示为一个方程。如果您是物理学家、数学家或工程师，了解 Kronecker delta 函数有助于您以更简单的方式在数学上定义理论概念。Kronecker delta 函数用于分析多维空间中的问题。