线性代数:特征值特征向量应用微分方程
01 Aug 2017
矩阵特征值特征向量简直是把利剑，应用相当广泛。现在就介绍应用于微分方程。将常系数微分方程转化到线性代数领域求解。这部分内容算是振动分析的数学基础。
本文内容是参考文献
的学习笔记.主要内容：
du/dt=Au 一阶常系数微分方程
二阶常系数微分方程
2x2矩阵的稳定性
矩阵的指数
1.du/dt=Au 一阶常系数微分方程
还记得微积分中如何求解一阶常系数微分方程（du/dt=u）的么？
\[\frac{du}{dt}=\lambda u, solutions \ u(t)=Ce^{\lambda t}\]
根据初始条件t=0时的值u(0)，我们可得到u(t).
这是简单的1x1问题，如果进入nxn的线性代数领域，对于n个一阶线性方程组（标量u就变为向量\(\boldsymbol u\)），该如何解决？
\[n \ equations \frac{d \boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u, starting \ from \ the vector \ \boldsymbol u(0) at t=0\]
前提：线性微分方程（线性的哦）。
这里我们利用矩阵特征值和特征向量来解线性方程组。
\[Use \ \boldsymbol u = e^{\lambda t}\boldsymbol x \ when \ \boldsymbol {Ax}=\lambda \boldsymbol x , \ \frac{d \boldsymbol u}{dt}=\lambda e^{\lambda t}\boldsymbol x \ agrees \ with \ \boldsymbol{Au} = Ae^{\lambda t} \boldsymbol x\]
其中\(\lambda , x\) 分别为矩阵A的特征值和特征向量。
例1
：已知\(\boldsymbol u(0) = \begin{bmatrix} 4 \\ 2\end{bmatrix}\), 求解 \(d \boldsymbol u / dt = A \boldsymbol u =\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\boldsymbol u\)
矩阵A的特征值分别为1和-1，对应的特征向量分别为(1,1)和（1,-1）. 那么一阶微分方程组的解为：
\(u_{1}(t)=e^{\lambda_1 t}x_1=e^{t}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\end{bmatrix}, u_2(t)=e^{\lambda_2 t}x_2=e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix}\).
观察发现：\(\boldsymbol u\)也是特征向量，满足\(Au_1=u_1, Au_2=-u_2\).如此：\(du_1/dt=u_1=Au_1, du_2/dt = -u_2=Au_2\).
我们可以得到通解：
\[u(t)=Cu_1 + Du_2=\begin{bmatrix}
Ce^t + De^{-t} \\
Ce^t - De^{-t}
\end{bmatrix}\]
根据初始条件\(u_0\)，我们可以得到参数C和D的值分别为：
\[C\begin{bmatrix}
1 \\ 1
\end{bmatrix} +
D \begin{bmatrix}
1 \\ -1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
4 \\2
\end{bmatrix} \Rightarrow C=3, D=1.\]
有没有发现这个过程和
线性代数:矩阵对角化
中提到的解\(u_k = Au_k\)类似。
求解过程分为三步
：
u(0) 用矩阵A的特征向量（线性独立）来表示\(\boldsymbol u(0)=c_1\boldsymbol x_1 + \cdots + c_n\boldsymbol x_n\);
每个特征向量乘以\(e^{\lambda_i t}\);
u(t)的解为\(e^{\lambda t}\boldsymbol x\)的组合：\(\boldsymbol u(t)=c_1e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1 + \cdots + e^{\lambda_n t}\boldsymbol x_n\)
备注
：以上没有考虑矩阵特征值相同的情形。
2.二阶常系数微分方程
对于二阶常系数微分方程：
\[my{''} + by' + ky = 0\]
在振动基础中是最常见的公式。利用线性代数来解特别方便。
经过变化：
\[\begin{cases}
dy/dt = y' \\
dy'/dt = -ky - by'
\end{cases} \Rightarrow
\frac{d}{dt}
\begin{bmatrix}
y \\ y'
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ -k & -b
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
y \\ y'
\end{bmatrix}\]
看，我们的二阶常系数微分方程变为一阶矩阵形式：\(d\boldsymbol u/dt = A\boldsymbol u\).
下面的解法就是利用上面求解一阶方程组的方法来求解。
求矩阵A的特征值：
\[A-\lambda I=\begin{bmatrix}
-\lambda & 1 \\ -k & -b-\lambda
\end{bmatrix}, \det(A-\lambda I)=0 \rightarrow \lambda^2+b\lambda + k=0\]
可得到特征值分别记为\(\lambda_1, \lambda_2\), 其特征向量为
\[x_1 = \begin{bmatrix}1 \\ \lambda_1 \end{bmatrix}, x_2 = \begin{bmatrix}1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}\]
\[u(t)=c_1 e^{\lambda_1 t}\begin{bmatrix}1 \\ \lambda_1 \end{bmatrix}+ c_2 e^{\lambda_2 t}\begin{bmatrix}1 \\ \lambda_2 \end{bmatrix}\]
如果有初始条件的话，就可以求出参数。
3.2x2矩阵的稳定性
For the solution of du/dt = Au, there is a fundamental question. Does the solutionapproach u = 0 as t—>+ oo? Is the problem stable, by dissipating energy?
求得解u(t)在时间t趋于无穷时，u是否也趋于0。也就是系统是否稳定。系统的稳定有赖于矩阵A。
可以从上面的案例中的解看出，只要指数中的\(\lambda\) 为负值，那么时间t趋于无穷大时，u就趋于0。
稳定性
：
A is
stable
and \(u(t) \rightarrow 0\) 当A所有特征值为负数。 2x2 的矩阵\(A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)必须满足：
关于矩阵的指数形式\(e^{At}\)，其所在层面似乎上了一层，我暂时没有完全明白。看书籍讲解，我还是似懂非懂，和一般的e的指数类比理解，看上去清晰些。
\[e^x = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \cdots\]
矩阵指数形式：
\(e^{At} = I + At + \frac{1}{2}(At)^2 + \frac{1}{6}(At)^3 + \cdots\)
对矩阵指数求对t的导数：
\(Ae^{At} = A+ A^2t + \frac{1}{2}A^3t^2 + \cdots\)
其特征值为\(e^{\lambda t}\):
\((I + At + \frac{1}{2}(At)^2 + \frac{1}{6}(At)^3 + \cdots)\boldsymbol = (1 + \lambda t + \frac{1}{2}(\lambda t)^2 + \frac{1}{6}(\lambda t)^3) + \cdots\)
如果矩阵A可对角化，则：
\[\begin{cases}
e^{At} &= I + S \Lambda S^{-1} t + \frac{1}{2}(S \Lambda S^{-1} t)(S \Lambda S^{-1} t) + \cdots \\
&= S[I+\Lambda t + \frac{1}{2}(\Lambda t)^2 + \cdots]S^{-1} \\
&= Se^{\Lambda t}S^{-1}
\end{cases}\]
再来看看 \(Se^{\Lambda t}S^{-1}u(0) = u(t)\)
\[e^{At}u(0)=Se^{\Lambda t}S^{-1}u(0)=
\begin{bmatrix}
x_1 & \cdots & x_n \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{\lambda_1 t}& & \\
& \ddots & \\
& & e^{\lambda_n t}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_1 \\ \vdots \\ c_n
\end{bmatrix}\]
这个解和常系数微分方程的解一样：
\[\boldsymbol u(t)=c_1e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1 + \cdots + e^{\lambda_n t}\boldsymbol x_n\]
同样的三部曲。
看！作者将以上放在一起讲解，似乎是看重他们的通性。那么我们就得思考下，这个通性是什么？是否还存在其他类似的性质？
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@anifac
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