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塑性力学

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固体力学的一个分支

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塑性力学又称塑性理论，是固体力学的一个分支，它主要研究固体受力后处于塑性变形状态时，塑性变形与外力的关系，以及物体中的应力场、应变场以及有关规律，及其相应的数值分析方法。物体受到足够大外力的作用后，它的一部或全部变形会超出弹性范围而进入塑性状态，外力卸除后，变形的一部分或全部并不消失，物体不能完全恢复到原有的形态。要注意的是塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，永久变形与时间有关的部分属于流变学研究的范畴。

中文名: 塑性力学
外文名: Plasticity
别名: 塑性理论
拼音: suxinglixue

释义: 固体力学的一个分支
研究范围: 研究固体受力处于塑性变形的状态
起源: 18 世纪的70年代
成熟期: 20世纪的40年代和50年代初
代表人物: Mises Levy

简介

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固体力学的一个分支，研究物体超过弹性极限后所产生的永久变形和作用力之间的关系以及物体内部应力和应变的分布规律。和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑，和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和放妹料应跨朵慨婚鸦悼变的历史有关而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形与时间有关。

一般将塑性力学分为数学塑性力学和应用塑性力学，其含义同将弹性力学的分为数学弹性理论和应用弹性力学是类似的。前者是经典的精确理论，后者是在前者各种假设的基础上，根据实际应用的需要，再加上一些补充的简化假设而形成的应用性很强的理论。从数学上看，应用塑性力学奔洪您粗糙一些，但从应用的角度看，它的方程和计算公式比较殃剃简单，并且能满足很多结构设计的要婆乐户求。

塑性力学理论在工程实际中有广泛的应用。例如用于研究如何发挥材料强度的潜力，如何利用材料的塑性性质，以便合理选材，制定加承棵晚工成拜说型工艺。塑性力学理论还用于计算残余应力。

基本实验和基本理论

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基本实验

从学科建立过程来看，塑性力学是以实验为基础，从实验中找出受力物体超出弹性极限后的变形规律，据以提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系，从而建立塑性力学的基本方程。解出这些方程，便可得到不同塑性状态下物体中的应力和应变。

塑性力学的基本实验主要分两类：单向拉伸实验和静水压力实验。通过单向拉伸实验可以获得加载和卸载时的应力-应变曲线以及弹性极限和屈服极限的值；在塑性状态下，应力和应变之间的关系是非线性的且没有单值对应关系。由静水压力实验得出，静水压力只能引起金属材料的弹性变形且对材料的屈服极限影响很小（岩土材料则不同）。

简单拉伸实验应力-应变曲线

1单拉伸实验

对某些材料（如低碳钢）作简单拉伸实验，可得到如图1所示的应力-应变曲线。实验表明，应力-应变曲线上存在一个称为弹性极限的应力值，若应力小于弹性极限，则加载和卸载的应力-应变曲线相同（ OA 段）；若应力超过弹性极限，加载的应力-应变曲线有明显的转折，并出现一个水平的线段（AF），常称为屈服阶段，相应的应力称为屈服极限。弹性极限、屈服极限的值相差不大，在工程上常取为一个值，仍称屈服极限，记为

材料中的应力达到屈服极限时，材料即进入塑性阶段。此阶段的最大特点是：加载和卸载的应力-应变曲线不同。例如由图1中B点卸载，应力与应变不是沿BAO线而是沿着BD线退回。应力全部消失后，仍保留永久应变OD。实验表明，在变形不大时，多数材料应力-应变曲线中的BD与OA接近平行，以

表示塑性应变OD，表示弹性应变DC，则B点的应变为：

如果从D点重新加载，开始时仍沿DB变化，在回到B点后则按BFH变化并产生新的塑性变形。若在卸载至，则再加载时，点的应力成为新的屈服极限，它高于初始屈服极限

这一现象成为应变强化或加工强化。点的应力称为后继屈服极限或加载应力。对于均匀应力状态，外载全部卸除后，宏观应力等于零，但保留了宏观的残余应变。实际上，物体内部微观结构发生了变化，产生了微观的残余应力，它能在下次加载时扩大物体的弹性范围。J.包辛格于1886年发现，在卸载后施加反方向压力时，反向屈服极限降低了。这一现象后为包辛格效应，它是上述微观残余应力造成的。

由简单应力状态的应力-应变曲线可以看出，塑性力学问题有两个主要特点：一是应力与应变之间的关系是非线性的；二是应力与应变之间的关系不是单值对应的，而与加载历史有关。例如图1中，同一应力视加载历史的不同可对应1、2、3点的应变。因此塑性力学的问题是从某一已知初始状态开始，随着加载过程，用应力增量与应变增量的关系逐步求出每时刻的增量，累加起来得到物体内的最终应力和应变分布。

②静水压力实验

实验表明，静水压力可使材料的可塑性增加，原来处于脆性状态的材料可以转化成为塑性材料。但静水压力对金属材料的屈服极限影响不大（岩石材料则不同）。平均正应力在几万个大气压以内时，金属材料的体积变化与平均正应力近似成正比。

基本假设

为简化计算，根据实验结果，塑性力学采用的基本假设有：①材料是各向同性和连续的。②平均法向应力不影响材料的屈服，它只与材料的体积应变有关，且体积应变是弹性的，即静水压力状态不影响塑性变形而只产生弹性的体积变化。这个假定主要根据是著名的Brid-gman试验。③材料的弹性性质不受塑性变形的影响。这些假设一般适用于金属材料；对于岩土材料则应考虑平均法向应力对屈服的影响。④只考虑稳定材料，即不考虑塑性应变的弱化阶段（图1中的HK段）。此外，在一般的塑性静力问题中，还假设时间因素对材料的性质没有影响。变形速度、应变率、应力率等概念往往只表示位移、应变、应力的增量，这些增量在多长时间内产生，对分析问题没有影响。以上假设适用于一般金属材料，对于岩土材料则需考虑平均正应力对屈服的影响及弹塑性耦合问题。

简化模型

塑性力学的应力 -应变曲线通常有5种简化模型：

①理想弹塑性模型对低碳钢或强化性质不明显的材料，若应变不太大，则可忽略强化因素，而将实际应力-应变曲线（图2中的虚线）简化为折线，如图2所示，图中0-1线表示理想弹性，1-2表示理想塑性。

②线性强化弹塑性模型对有显著强化性质的材料，可用两条直线代替实际曲线（图3）。

③理想刚塑性模型对弹性应变比塑性应变小得多而且强化性质不明显的材料，可用水平直线代替实际曲线（图4）。

④线性强化刚塑性模型对弹性应变比塑性应变小得多而且强化性质明显的材料，可用倾斜直线代替实际曲线（图5）。

⑤幂次强化模型为简化计算中的解析式，可用幂次强化模型（图6），其解析表达式为

解析表达式

其中

为屈服应力

为与

相应的应变；为材料常数。

简化模型

屈服条件和本构关系

在复杂应力状态下，各应力分量成不同组合状态的屈服条件以及应力分量和应变分量之间的塑性本构关系是塑性力学的主要研究内容，也是分析塑性力学问题时依据的物理关系。

屈服条件是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的判据。对于金属材料，最常用的屈服条件为最大剪应力屈服条件（又称特雷斯卡屈服条件）和弹性形变比能屈服条件（又称米泽斯屈服条件）。这两个屈服条件数值接近，它们的数学表达式都不受静水压力的影响，而且基本符合实验结果。对于理想塑性模型，在经过塑性变形后，屈服条件不变。但如果材料具有强化性质，则屈服条件将随塑性变形的发展而改变，改变后的屈服条件称为后继屈服条件或加载条件（见强化规律）。对于岩土材料则常用特雷斯卡屈服条件、德鲁克-普拉格屈服条件和莫尔-库伦屈服条件。当已知主应力的大小次序时，使用特雷斯卡屈服条件较为方便；若不知道主应力的大小次序，则使用米泽斯屈服条件较为方便。对于韧性较好的材料，米泽斯屈服条件与试验数据符合较好。

反映塑性应力-应变关系的本构关系，一般应以增量形式给出，这是因为塑性力学中需要考虑变形的历程，而增量形式可以反映出变形的历程，反映塑性变形的本质。用增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量理论。研究表明，应力和应变的增量关系与屈服条件有关。增量理论的本构关系在理论上是合理的，但应用起来比较麻烦，因为需要积分整个变形路径才能得到最后的结果。因此，在塑性力学中又发展出塑性全量理论，即采用全量形式表示塑性本构关系的理论。在单向应力状态下，若限定应力只增不减（即只加载不卸载），则应力全量与应变全量之间就有直接关系，如同非线性弹性关系那样。在复杂应力状态下，若各应力分量按一定比例增长（称为比例加载）而不卸载，则可将增量关系积分得全量关系，但一般情形下，各应力分量之间的比例是有变化的，严格来说，不能得出全量关系。然而全量关系使用方便，因而常用与求解实际问题。研究表明：在偏离比例加载不大时，全量理论的计算结果和实验接近，至于允许偏离的程度，尚无定量的标准。

解决塑性力学的边值问题，所使用的平衡方程、几何方程（即应变和位移的关系）以及力和位移的边界条件都和弹性力学中所使用的相同，但在物理关系上则应以全量理论或增量理论的塑性本构关系代替弹性力学中的广义胡克定律（见胡克定律）。利用平衡方程、几何方程、物理关系和所有边界条件可以求得超过屈服极限后的应力和应变分布以及内力和外载荷之间的关系。但是塑性力学的本构关系是非线性的，在具体计算边值问题时会遇到一些数学上的困难，因此在塑性力学中还要根据所研究问题的具体情况，找出解决方法。

研究内容

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除上述基本理论以外，塑性力学还包括以下研究内容：

简单弹塑性问题经过简化只剩下一个独立变量的问题

这类问题有：

梁的弹塑性弯曲问题

如果像处理弹性弯曲问题一样引用平截面假设，则梁的弹塑性弯曲问题就成为一维问题目。在弯矩M的作用下，梁截面上的正应力分布为其中x为梁纵轴坐标，y为截面上的坐标， y=O对应于中性轴，I为截面绕中性轴的惯性矩。对一个宽为b、高为h的矩形截面梁，当最外层纤维的应力达到屈服极限时，作用在截面上的弯矩为弹性极限弯矩。如果弯矩继续增加，则外层纤维首先进入塑性变形阶段，从梁截面上看，塑性变形区随弯矩的增加向中心发展，纯弹性变形区逐渐缩小。在极限情形，弹性区缩小为零。对于理想塑性材料，与极限情形对应的弯矩称为塑性极限弯矩，其值为这一结果意味着，如果允许梁内发生塑性变形，矩形截面梁的抗弯矩能力最多可以提高50%。弯矩达到塑性极限弯矩前梁的变形仍属弹性量级。因此，在设计中可让梁内发生部分塑性变形以提高梁的承载能力。一般说来，梁的静不定次数（见静不定结构）愈高，承载能力提高的幅度愈大。

受内压厚壁圆筒问题

研究对象是一个内半径为外半径为，并且受内压P作用的长厚壁筒。这是—个轴对称问题，可在以筒轴为z轴的柱坐标系中进行研究。若考虑轴向应力的情形，则壁内的两个主应力为和，最大剪应力屈服条件可写成。根据弹性分析可知在内壁处最大。当压力时，内壁开始产生塑性变形。塑性区随着压力的增加而向外扩展。在分析这一问题时，要区分弹性和塑性区，在不同区域中使用不同的应力-应变关系；另外还要求各物理参量（应力、应变等）在弹性区和塑性区的交界面上满足连接条件和初始屈服条件。由这两个条件可定出弹塑性交界面的位置。对于理想塑性材枓,当应力满足屈服条件时，材料可无限制地发生塑性变形。但实际上，塑性区的变形受到外层弹性区的约束，不能无限发展，材料处在约束塑性变形阶段。当塑性区扩展到外边界处时，外层的弹性约束消失，塑性变形可以自由发展，这时所对应的压力称为塑性极限压力，其值为。若在到达塑性极限压力前卸载，壁内就产生残余应力。再次加载时，应力将从这个残余应力上增长。和简单拉伸时的情形一样，残余应力可使弹性范围提髙到卸载前的最高值。利用残余应力的这一特性，可以延长大炮筒及其他压力赛器的使用寿命。

长柱体的塑性自由扭转问题

按照弹性力学中解决此类问理的方法引进应力函数（见柱体扭转和弯曲），把不为零的剪应力表示为：

则平衡方程自动满足。最大剪应力出现在柱体边界上，式中▽为梯度算符。当扭矩增大到弹性极限时，边界上某些点处为剪切屈服极限，塑性变形首先在那些点产生。随着扭矩的增大，塑性区向内发展。对于理想塑性材料，在塑性区内为一常数。另外，从边界条件的要求可知，边界上，塑性区内的函数可用边界上的等梯度斜面表示。取柱体的一个截面，当整个截面进入塑性屈服阶段时，那些边界上的斜面汇交成一个在此截面上的沙堆形状包络面，沙堆体积的两倍对应于塑性极限扭矩。这种用沙堆体积计算柱体极限扭矩的方法就称为塑性扭转问题中的沙堆比拟法，通过它可以求得较复杂截面柱的极限弯矩和剪应力分布规律。

求解方法

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静定法

求解简单弹塑性问题的方法。由于所求的各未知量的数目和已知方程式的数目相同，应用平衡方程和屈服条件便能将问题中的各未知量找出。

滑移线法

适用于求解塑性平面应变问题，可找出变形体中各点的应力分量和所对应的位移分量

界限法

一个有实用价值的方法，又称上、下限法。上限法采用外力功等于内部耗散能以及结构的几何条件求塑性极限载荷，其值比完全解的塑性极限载荷大；下限法则用平衡条件、屈服条件以及力的边界条件求塑性极限载荷，其值比完全解的塑性极限载荷小。

主应力法

在屈服条件中不考虑剪应力的贡献，并假定沿某一个轴主应力的分布是均匀的。用此法能获得各应力分量的分布规律。

参数方程法

使用米泽斯屈服条件时，可将满足屈服条件的参数方程代入平衡方程进行求解。

加权残量法

一种求解微分方程近似解的数学方法。其要点是：先假设一个试函数作为近似解，将其代入要求解的控制方程和边界条件；该函数一般不能完全满足这些条件，因而出现误差即残量；选择一定的权函数与残量相乘，列出在解域内消灭残量的代数方程，就可把求解微分方程转化为求解代数方程的数值计算问题，从而得出近似解。

有限元法

常用的有弹塑性有限元和刚塑性有限元法，可得到变形体内的应力和应变分布规律。

主要应用

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①结构的塑性极限分析和安定分析，对梁、桁架、刚架、拱、排架、圆板、矩形极、柱壳、球壳、锥壳、组合壳等都已获得完全解。

②构件的塑性极限分析和安定分析，已求出各种带有缺口、槽、孔的受拉、受弯、受扭轴和构件的塑性极限载荷。

③金属板料成形，包括深冲、翻边、扩口、缩口等工艺。

④金属块体成形，包括镦粗、拉拔、挤压、锻造等工艺。

⑤金属轧制，金属材料在两个反向旋转的轧辊间通过，并产生塑性变形。

⑥塑性动力响应和塑性波，在防护工程、地震工程、穿甲和侵彻，高速成形，超高速撞击、爆炸工程等方面都有重要应用。

⑦自紧技术，通过使结构产生有益的残余应力，以增强厚壁圆筒弹性强度和延长疲劳寿命。

⑧在岩土力学中，用以研究地基承载能力、边坡稳定性、挡土墙的作用和煤柱的承载能力。

⑨用以研究估算和消除残余应力的方法。

由于传统的塑性力学只适用与金属塑性范围，特别是硬金属，当应用于岩石，土壤和混凝土等材料时，往往需要对其一些基本概念作修正，既有了广义塑性力学的发展。广义塑性力学放弃了这些假设，采用了分量理论，由固体力学原理直接导出塑性公式，它既适用于岩土材料，也适用于金属。

上面主要介绍的是从宏观角度，以实验为基础唯象的研究塑性变形。在细观尺度，已经建立细观力学，其主要研究目的是从材料物理理论（位错、晶体范性、界面等）出发，建立细观结构与力学性质之间的定量关系。细观力学对经典连续介质力学理论框架加以改造，引入表征材料细观结构的损伤的物理或几何量，确定其演化方程。同时发展由细观向宏观过度的均匀化方法，建立细观结构、内部缺陷与宏观力学性能之间的定量关系。从而在细观尺度上形成一套新的理论框架。细观力学中与塑性变形相关的部分称塑性细观力学。相对传统塑性力学的小变形分析，有关塑性大变形的分析李国琛和M.耶纳著《塑性大应变微结构力学》

发展简史

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塑性力学作为固体力学的一个重要分支，其发展的历史虽然可以追溯到18世纪的70年代，但真得到充分发展并日臻成熟的是在20世纪的40年代和50年代初。特别是理想塑性理论，这时已达到成熟并开始在工程实践中得到应用的阶段。塑性变形现象发现较早，然而对它进行力学研究，是从1773年库仑Coulomb土壤压力理论，提出土的屈服条件开始的。

H.Tresca于1864年对金属材料提出了最大剪应力屈服条件。随后圣维南于1870年提出在平面情况下理想刚塑性的应力 -应变关系，他假设最大剪应力方向和最大剪应变率方向一致，并解出柱体中发生部分塑性变形的扭转和弯曲问题以及厚壁筒受内压的问题。Levy于1871年将塑性应力 -应变关系推广到三维情况。1900年格斯特通过薄管的联合拉伸和内压试验，初步证实最大剪应力屈服条件。

此后20年内进行了许多类似实验，提出多种屈服条件，其中最有意义的是Mises于1913年从数学简化的要求出发提出的屈服条件（后称米泽斯条件）。米泽斯还独立地提出和Levy一致的塑性应力 -应变关系（后称为Levy-Mises 本构关系）。泰勒于1913年，Lode于1926年为探索应力-应变关系所作的实验都证明，莱维-米泽斯本构关系是真实情况的一级近似。

为更好地拟合实验结果，罗伊斯于1930年在普朗特的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力-应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。但当时增量理论用在解具体问题方面还有不少困难。早在1924年亨奇就提出了塑性全量理论，由于便于应用，曾被纳戴等人，特别是伊柳辛等苏联学者用来解决大量实际问题。

虽然塑性全量理论在理论上不适用于复杂的应力变化历程，但是计算结果却与板的失稳实验结果很接近。为此在1950年前后展开了塑性增量理论和塑性全量理论的辩论，促使从更根本的理论基础上对两种理论进行探讨。另外，在强化规律的研究方面，除等向强化模型外，普拉格又提出随动强化等模型。电子计算机的发展，为塑性力学的研究和应用开展了广阔的前景，特别是促进了有限单元法的应用。1960年，Argyris提出初始荷载法可作为有限单元发解弹塑性问题的基础。自此理想塑性的塑性力学已经达到定型的阶段，而具有加工硬化的塑性力学至今仍是在发展中研究课题。

20世纪60年代以后，有限元法的发展，提供恰当的本构关系已成为解决问题的关键。所以70年代关于塑性本构关系的研究十分活跃，主要从宏观与微观的结合，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进行研究 ^[1] 。

在实验分析方面，也开始运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法等能测量大变形的手段。另外，由于出现岩石类材料的塑性力学问题，所以塑性体积应变以及材料的各向异性、非均匀性、弹塑性耦合、应变弱化的非稳定材料等问题正在研究之中 ^[2-3] 。

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