量子力学中可观察量是 C*-algebra 的意义？

可观察量不是C*代数全体，而是其中的自伴算子。实际上注意到非交换自伴算子的乘积不一定是自伴的，最早研究量子力学的数学的时候考虑的是所谓Jordan algebra（ Jordan algebra - Wikipedia ）: 也就是说如果（自伴算子）A,B是一个Jordan algebra里面的元素，因为(AB+BA)/2也是一个自伴算子，于是就把(AB+BA)/2这个运算定义为Jordan algebra里面的乘法。可以想见这样定义的乘法非常难以操作，连结合律也不满足。

那么这个问题该怎么处理呢？我们首先复习一下复数：原本波函数是用在两个坐标下的投影 r\cdot cos(\omega t+\theta) 和 r\cdot\sin(\omega t+\theta) 来表示的。那么如果有两个波函数，那它们之间的耦合就要用三角公式 \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta 和 \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta 来表示。用以上两个公式定义的复合运算就和Jordan代数里面的运算一样太麻烦了。而引入了复数之后，这两个复杂的公式就直接用复数的乘法 r_1r_2e^{i(\alpha+\beta)}=r_1e^{i\alpha}\cdot r_2e^{i\beta} 来替代了。

回到C*代数。我们考虑形如 A=H+iK 构成的（不一定自伴的）有界算子，这里 H,K 都是可观测量（所以是自伴算子）。于是这里A就类似于 r\cdot e^{i\alpha} ，H和K就类似于实部和虚部 r\cos(\alpha),r\sin(\alpha) 。对于两个有界算子 A,B ，其实部和虚部都是可观测量，如果我们要求 A,B 二者的实部和虚部在Jordan algebra的操作下也是可观测量，那就等价于要求所有 AB 的实部和虚部也是可观测量即可。因此我们考虑一个代数 \mathcal A ，里面所有元素的实部和虚部都是（有界）可观测量， 且 \mathcal A 的乘法结构只是通常意义上的算子复合就行了。 （可以看到，用算子复合来定义我们感兴趣的代数结构里的乘法，这一操作在数学上看起来显然，但其实是有很深的背景的。一个数学定义看起来精炼简单，和它背后的意义是否深刻是两回事。）另一方面，注意到若 A=H+iK ，则 H=(A+A^*)/2 ，所以我们要求 如果 A\in\mathcal A ，那么也要有 A^*\in\mathcal A 。所以 \mathcal A 是一个*代数。

现在考虑 \mathcal A 里面的一个有界自伴算子H，也就是有界可观测量。（利用谱分解）我们可以把H当做一个经典意义上的函数 。那么如果 f 是一个连续函数，我们就要求f和H的复合 f(H) 也是一个（连续有界）的可观测量。也就是说 我们要求对 \mathcal A 里面的所有自伴算子可被连续函数作用 。那么我们来思考这个问题： f(H) 该怎么定义？如果 f 是一个多项式函数 f(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n ，其中 a_0,a_1,\dots,a_n 是复数，那么很显然我们可以定义 f(H)=a_0+a_1H+a_2H^2+\cdots+a_nH^n 。这时 f(H) 明显是 \mathcal A 里的元素。那如果 f 是任意（在H的谱上）有界的连续函数，我们怎么定义 f(H) 呢？注意到H的谱 \text{Sp}(H) 是一个compact Hausdorff space。所以根据Stone-Weierstrass 定理，我们可以用一串定义在 \text{Sp}(H) 上的多项式 p_n(x) 在 L^\infty -范数下逼近 f 。那么我们就可以把 f(H) 定义为 \lim_{n\rightarrow\infty}p_n(H) 。现在问题来了： p_n(H) 究竟在什么拓扑下收敛到 f(H) 呢？答案是用有界算子的norm定义下的拓扑。（这是因为对于任何定义在 \text{Sp}(H) 上面的多项式 p ，我们有 ||p(H)||\leq||p||_\infty 。）因此，如果这时我们仍然想让 f(H) 是 \mathcal A 里的元素， 我们就必须要求 \mathcal A 这个*-代数在有界算子的norm拓扑下是完备的。 That's why we require a C^* algebra to be not only a star algebra, but also closed under norm topology。

注意到 C^* 代数有一个内蕴（即不依赖于Hilbert space）定义。这样的话，一个抽象的 C^* 就是一个*-代数，并且在一个抽象定义的范数下完备。而我们要求一个这样的抽象 C^* 代数是可以连续的表示成Hilbert space上的具体 C^* 代数的，这就对抽象 C^* 代数上的 范数有所限制。这个限制就是 ||A^*A||=||A||^2 。所以 C^* 代数，这里的*指的是取伴随的*运算，而C这个字母（大概）指的是norm closed。

ps：在构造量子物理里面的*-代数时，我们时常考虑一类特殊的 C^* 代数：von Neumann代数。相对于 C^* 代数在算子范数下closed，我们要求von Neumann代数在更加弱的拓扑下closed，即 \sigma -weak topology。相应的，如果一个有界自伴算子H是这个von Neumann代数里的元素，那么只要 f 是一个可测函数， f(H) 就仍然在这个von Neumann代数里了。另一方面，注意到波函数 r\cdot e^{i\alpha} 不仅可以用实部和虚部这两个可观测量描述，也可以用振幅 r 和相位 \alpha 来描述。相应的，对于一个*-代数里的有界算子 S ，我们做极分解 S=UH ，这里H是有界自伴算子，U是unitary operator。那么H就是S的概率振幅，是概率分布的r，而U是H的相位算子，是概率分布的相位 \alpha 。

那么U这个normal operator的谱（which lies in the unit circle of the complex plane）就是这个相位算子所有可能取到的相位的样本空间。对于U的谱分解 U=\int_0^{2\pi}e^{i\theta}dE(\theta) ，这些谱投影 E(\theta) 就是关于相位 e^{i\theta} 的特征函数。这个函数必须是可观测量。所以我们要求对于极分解S=UH，U的谱投影也必须都是都是可观测量。所以一般的，我们要求我们的*-代数关于取谱投影是closed的。一个C*代数一般无法做到这一点，只有要求更强的von Neumann代数才可以。

pss：一个C*代数 \mathcal A 的态空间是其对偶空间，也就是所有有界线性泛函 \mathcal A\rightarrow \mathbb C 构成的Banach space。

ps^3 ：注意我说一个C*代数里面的自伴算子都是物理系统的可观测量，但没有反过来说，C*代数里的自伴算子由全体可观测量构成。一般来说，对于一个物理系统我们可以构造C*代数和von Neumann代数。前者的所有自伴元素由物理系统里的 全体连续有界可观测函数 构成，而后者由 全体可测有界可观测函数 构成。而许多没有经过分析上加工，具有非常直接的物理意义的可观测量（例如能量和动量算子），其实是 无界 （自伴）算子。